И. ГИЛБОА, профессор университета Тель-Авива (Израиль) и университета НЕС (Франция),

Э. ПОСТЛУЭЙТ, профессор экономики и финансов университета Пенсильвании (США),

Д. ШМАЙДЛЕР, профессор университета Тель-Авива (Израиль) и университета Огайо (США)

ВЕРОЯТНОСТЬ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ В ЭКОНОМИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ*

С возникновением теории вероятностей почти сразу появилось различие между вероятностями, заданными изначально (например, в азартных играх), и теми, что задать нельзя. Последние призваны были отражать степень субъективной убежденности, верований (beliefs)¹. В экономической теории разграничение понятий "риск" и "неопределенность" ввел Ф. Найт². Риск в его понимании характеризует ситуации, в которых вероятность известна или может быть определена в ходе оценки ранее полученных данных и вычислена в соответствии с законами теории вероятностей. В ситуации неопределенности, напротив, невозможно ни узнать вероятность, ни логически вывести ее, вычислить или объективно оценить.

В рамках байесовского подхода важность данного разграничения нивелируется, поскольку вводится понятие "субъективная вероятность". Этот подход стал стандартным при моделировании ситуаций неопределенности в экономической теории. Предполагается, что у людей есть вероятностные верования относительно любого источника неопределенности, что агенты меняют свои верования в соответствии

* Gilboa I., Postlewaite A. W., Schmeidler D. Probability and Uncertainty in Economic Modeling // Journal of Economic Perspectives. 2008. Vol. 22, No 3. P. 173 - 188. Печатается с разрешения авторов и Американской экономической ассоциации.

¹ Исторический обзор см. в: Hacking I. The Emergence of Probability. Cambridge: Cambridge University Press, 1975; Shafer G. Non-Additive Probabilities in the Work of Bernoulli and Lambert // Archive for History of Exact Sciences. 1978. Vol. 19, No 4. P. 309 - 370.

² Knight F.H. Risk, Uncertainty, and Profit. Boston, NY: Houghton Mifflin, 1921 (рус. пер. см.: Найт Ф. Риск, неопределенность и прибыль. М.: Дело, 2003).

с правилом Байеса и используют их при принятии решений, обычно максимизируя ожидаемую полезность. Когда объективные вероятности неизвестны, их можно заменить субъективными. Таким образом, задача принятия решений в условиях неопределенности сводится к такой же задаче в условиях риска. Эта парадигма - элегантный и логичный способ работы с неопределенностью. Тем не менее не всегда ясно, как должны формироваться субъективные верования. Рассмотрим в качестве иллюстрации два примера.

Пример 1. Энн отвечает за прием студентов в аспирантуру по экономической теории. Каждый год она рассматривает огромное количество заявок, оценивая вероятность успешной учебы различных кандидатов, если их примут на курс. Как ей оценить вероятность успеха каждого конкретного кандидата, имея на руках его личное дело?

Пример 2. Боб - выпускник школы, раздумывающий, не пойти ли ему в армию. Преимущества военной карьеры ему более или менее ясны, однако возможные недостатки весьма неопределенны. Боб понимает, что если США в следующие несколько лет будут участвовать в войне, то ему скорее всего придется отправиться за океан, сражаться и рисковать жизнью. Для принятия рационального решения Боб пытается оценить вероятность войны.

И Энн, и Боб предпочли бы иметь "объективную" или даже "научную" оценку вероятности. Однако общепринятых методов вычисления вероятности интересующих их событий не существует. Согласно принципу безразличия Лапласа (другое его название - принцип недостаточного основания), если вероятность точно неизвестна, то надо считать каждый из возможных исходов равновероятным. Этот подход, очевидно, неприменим в рассматриваемых ситуациях, так как в них доступна дополнительная информация, которая может скорректировать наши представления. Действительно, Энн и Бобу вероятнее всего известно кое-что относительно интересующих их вопросов, и допускать равную вероятность всех возможных исходов в этих случаях было бы неправильно.

Однако использовать эмпирические сведения можно не всегда. Когда Энн рассматривает конкретного кандидата, она не хочет полагаться, например, на общую долю успешных аспирантов, поскольку они различаются по множеству параметров и характеристики некоторых аспирантов представляются более существенными, чем остальных. Энн, естественно, могла бы построить регрессию, соотнеся наблюдаемые свойства прошлых претендентов с некоторой количественной мерой их успеха в учебе. Однако количественное описание этих характеристик скорее всего будет интуитивным. Более того, выбор переменных для модели регрессии, как и детали статистической процедуры, во многом отдаются на откуп субъективному мнению Энн.

Проблема формирования верований Боба сложнее, чем у Энн. Он, конечно, мог бы использовать эмпирический частотный подход для решения своей задачи, рассмотрел бы базу данных по конфликтным ситуациям и вычислил бы процентную долю тех, что привели к войне. Эту относительную частоту можно было бы считать приближенной оценкой вероятности начала войны в следующие несколько лет. Но в этой базе данных ситуации различаются по ряду характеристик: некоторые

конфликты произошли давно, другие - совсем недавно, в каких-то ситуациях конфликтуют похожие между собой страны, в других - нет. Рассматривать все возможные конфликты нерационально, а если выбирать только "идентичные" ситуации, то искомое множество будет пустым. Более того, в случае Боба регрессионный анализ еще проблематичнее, чем для Энн. Пути разрешения различных конфликтов, как показывает история, связаны между собой сложными причинными зависимостями, их нельзя описать при помощи простых регрессионных моделей. Таким образом, ни частотный, ни регрессионный анализ не позволяют понять, как должны формироваться верования.

При решении многих интересных экономических задач неясно, как следует определять вероятность. Только в очень ограниченном числе случаев, например в лотереях или в казино, вероятность действительно задана. В других ситуациях, например в страховании, вероятность можно вычислить лишь приблизительно, взяв за основу относительную частоту схожих случаев, подсчитанную на основе данных, которые находятся в открытом доступе. Однако для широкого спектра экономических проблем вероятность не задается, ее нельзя аппроксимировать, прибегая к частотному или регрессионному анализу. Цель этой статьи - понять, как в подобных ситуациях следует определять вероятность, а если удовлетворительного способа задания вероятности нет, то как должны моделироваться верования.

Субъективные вероятности

Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн предложили набор аксиом для теории максимизации ожидаемой полезности, который лег в основу классической теории поведения потребителя³. Эти аксиомы изложены на языке теории вероятностей, поэтому теория максимизации ожидаемой полезности ограничивается лишь ситуациями риска, но не неопределенности. Эта теория не отвечает на вопрос, откуда возникает вероятность, если она заранее не задана, а при неизмеримой неопределенности подход фон Неймана и Моргенштерна не согласуется с максимизацией ожидаемой полезности. Л. Сэвидж распространил парадигму ожидаемой полезности на ситуации, в которых объективная вероятность может не существовать⁴. Он показал: из аксиом последовательности (consistency) выбора в ситуации неопределенности следует, что индивид, принимающий решение, ведет себя так, как будто знает субъективную вероятность, в соответствии с которой хочет максимизировать ожидаемую полезность. Получая и вероятность, и полезность из наблюдаемых ситуаций выбора, Сэвидж привел самые убедительные доводы в пользу парадигмы Байеса: чтобы сделать разумный и непротиворечивый выбор, индивиды должны вести себя так, будто у них есть субъективная

³ Neumann J. von, Morgenstern O. Theory of Games and Economic Behavior. N.Y.: Wiley, 1944 (рус. пер. см.: Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970).

⁴ Savage L.J. The Foundations of Statistics. N.Y.: John Wiley and Sons, 1954; 2^nd ed. N. Y.: Dover, 1972.

вероятность, даже когда объективную вероятность нельзя определить. Этот подход заслуживает более детального рассмотрения.

Аксиоматический подход Сэвиджа

В рамках аксиоматизации Сэвиджа рассматриваются наблюдаемые ситуации выбора между парами неопределенных событий и исключаются способы принятия решений, которые не кажутся "разумными"⁵.

Чтобы понять аксиомы, рассмотрим в качестве примера ставки на скачках. Возможны следующие варианты игры: 1) "Если лошадь A выигрывает забег, вы получаете поездку в Париж (в противном случае вы не получаете ничего)" и 2) "Если лошадь B выигрывает скачку, вы получаете поездку в Лондон (в противном случае тоже ничего)". Выбор между такими ставками отражает предпочтения относительно результатов и вероятности рассматриваемых событий. Например, если бы вы выбрали первый вариант, то сторонний наблюдатель мог бы предположить, что вы считаете выигрыш лошади A более вероятным, чем лошади B, или что вы предпочитаете Париж Лондону, или что некоторая комбинация ваших верований относительно победителя гонки и предпочтений в отношении двух городов привела к наблюдаемому выбору. Сэвидж предложил аксиомы, выраженные на языке предпочтений определенных на множестве подобных азартных игр. Этих аксиом достаточно для идентификации и функции полезности, и вероятностной меры, совместно характеризующих индивида, принимающего решение, представляя его выбор как максимизацию субъективной ожидаемой полезности.

Сэвидж сформулировал четыре концептуально важные аксиомы⁶. Первая - распространенная в теории потребителя классическая предпосылка о полноте и транзитивности предпочтений.Полнота означает, что для любых двух ставок лицо, принимающее решение, может сказать, какая из ставок (нестрого) более предпочтительна, то есть какая из них, по крайней мере, так же хороша, как и другая. Когда индивиду предлагают ставки: 1) "Если лошадь A или B выигрывает забег, вы получаете поездку в Париж (иначе не получаете ничего)" и 2) "Если лошадь C невыигрывает забег, вы получаете поездку в Лондон (иначе не получаете ничего)", то он должен суметь выбрать между ними или четко сформулировать свое безразличное отношение к этим вариантам. Транзитивность означает, что если индивид имеет нестрогое предпочтение азартной игры A игре B, а игры B - игре C, это означает, что он (нестрого) предпочитает игру A игре C.

Две дополнительные аксиомы связаны с отделением вкусов от верований. Эти аксиомы затрудняют применение теории в областях,

⁵ Существуют и другие аксиоматизации субъективной вероятности. См., например: Ramsey F. P. Truth and Probability // The Foundation of Mathematics and Other Logical Essays. N.Y.: Harcourt, Brace, 1931; Finetti B. de. La Prevision: Ses Lois Logiques, Ses Sources Subjectives // Annales de l'lnstitute Henri Poincare. 1937. Vol. 7, No 1. P. 1 - 68; Anscombe F. J., Aumann R.J. A Definition of Subjective Probability // Annals of Mathematical Statistics. 1963. Vol. 34, No 1. P. 199 - 205.

⁶ Сэвиджу также потребовались три дополнительные аксиомы, которые можно считать техническими. Они гарантируют непрерывность и исключают тривиальные случаи. Эти аксиомы здесь обсуждаться не будут.

где речь идет о неопределенности по поводу выживания или здоровья и где предпочтения могут меняться в зависимости от контекста, но эти проблемы не связаны с основной темой нашей статьи, поэтому здесь не обсуждаются⁷.

Четвертая аксиома, которая играет ключевую роль в нашем анализе, - это принцип обязательности (Sure Thing Principle). Чтобы проиллюстрировать эту аксиому, рассмотрим следующие игры. G1: "Если лошадь A выиграет забег, вы получите поездку в Париж; а если лошадь A не выиграет, то вы получите поездку в Филадельфию". G2: "Если лошадь A победит в забеге, вы поедете в Лондон; если лошадь A не победит, то в Филадельфию". Две игры тождественны, если лошадь A не выигрывает скачки, но если лошадь A побеждает, вы должны выбирать между Парижем и Лондоном. Рассмотрим две другие игры, в которых призы при победе лошади A те же, но в противном случае предлагаются другие утешительные призы. Допустим, игра G3 такова: "Если лошадь A побеждает в забеге, вы едете в Париж, а если нет - в Монреаль". G4: "Если лошадь A выигрывает забег, вы едете в Лондон, а если нет - в Монреаль". G1 и G2 отличаются только в случае победы лошади A, остальное зависит от того, предпочитает агент Париж или Лондон. Точно так же G3 и G4 различаются лишь, если выиграет А, и снова все зависит от предпочтений агента между Парижем и Лондоном. В соответствии с принципом обязательности индивид, принимающий решение, предпочитает игру G1 игре G2 тогда и только тогда, когда он предпочитает игру G3 игре G4.

Эти и другие аксиомы Сэвиджа кажутся абсолютно обоснованными. Теорема Сэвиджа гласит, что если агент, принимающий решение, осуществляет выбор последовательно и разумно (то есть в соответствии с этими аксиомами), то эти действия эквивалентны максимизации ожидаемой полезности для субъективной вероятностной меры. Лицо, принимающее решение, ведет себя как индивид, которому известно распределение вероятности по состояниям мира (фактор, определяющий, какая лошадь выигрывает скачки) и у которого есть функция полезности, зависящая от результатов (поездки в Париж, Лондон, Филадельфию и Монреаль). Агент, принимающий решение, максимизирует сумму полезностей, взвешенных по вероятности осуществления этих исходов.

Почему результаты Сэвиджа имеют значение?

Теорема Сэвиджа, согласно которой человек ведет себя так, будто он максимизирует ожидаемую полезность, важна по нескольким

⁷ Обсуждение и критический анализ этих аксиом см.: Dreze J. Les Fondements Logiques de l'Utilite Cardinale et de la Probabilite Subjective // La Decision. P.: Colloques Internationaux du CNRS, 1961. P. 73 - 97; Karni E., Schmeidler D., Vind K.On State Dependent Preferences and Subjective Probabilities // Econometrica. 1983. Vol. 51, No 4. P. 1021 - 1032; Karni E.A. Definition of Subjective Probabilities with State-Dependent Preferences // Econometrica. 1993. Vol. 61, No 1. P. 187 - 198;Karni E. Probabilities and Beliefs // Journal of Risk and Uncertainty. 1996. Vol. 13, No 3. P. 249 - 262; Karni E. Elicitation of Subjective Probabilities when Preferences are State-Dependent // International Economic Review. 1999. Vol. 40, No 2. P. 479 - 486; Karni E. On the Representation of Beliefs by Probabilities // Journal of Risk and Uncertainty. 2003. Vol. 26, No 1. P. 17 - 38.

причинам. Во-первых, ее можно интерпретировать нормативно: в той степени, в какой аксиомы представляются нам разумными, мы будем полагаться на теорию ожидаемой полезности. Таким образом, если бы Энн или Боб попросили нас порекомендовать, как им действовать в конкретных ситуациях, мы могли бы для начала спросить их, не желают ли они принимать решения в соответствии с этими аксиомами. Предположим, Энн изучает аксиомы Сэвиджа и говорит: "Да, я хотела бы принимать решения согласно этим аксиомам", или даже так: "Теперь, когда вы объяснили мне аксиомы, мне будет неудобно нарушать их". Тогда мы сможем обратиться к теореме Сэвиджа и сказать: "Вы должны вести себя так, будто максимизируете математическое ожидание своей полезности с некоторой вероятной мерой. Вам, возможно, было бы легче мыслить непосредственно в терминах полезности и вероятности и, раз выбрав эти функции, просто ориентироваться на максимизацию ожидаемой полезности".

Во-вторых, эти аксиомы полезны в описательных целях. Они очерчивают область наблюдаемых явлений, которые совместимы с субъективной теорией ожидаемой полезности, в частности указывают на условие, что люди максимизируют ожидаемую полезность с субъективной вероятностной мерой. Эта аксиоматизация может помочь и в проверке субъективной теории ожидаемой полезности. Поскольку прямые эмпирические проверки теории могут сопровождаться проблемами идентификации (в реальных условиях трудно отделить эффекты различной субъективной вероятности или полезности), возникает желание проверить аксиомы Сэвиджа в простых ситуациях выбора в лаборатории или при помощи мысленных экспериментов. В той мере, в какой аксиомы в этих экспериментах оказываются справедливыми, можно с уверенностью сказать, что они действуют и в реальных ситуациях, а следовательно, субъективная максимизация ожидаемой полезности - это удачная модель, описывающая, как реально принимаются решения.

Чтобы проиллюстрировать это, предположим, что экономист A при анализе выбора военной карьеры, который осуществляют Боб и другие юноши, предполагает, что они принимают решение, максимизируя субъективную ожидаемую полезность. Экономист B не считает, что такая модель подходит для использования в этом случае. Ни один из экономистов не знает достоверно, как молодые люди принимают решение. Кроме того, у экономистов не достаточно данных, чтобы проверить, действительно ли юноши максимизируют ожидаемую полезность. Если бы A предложил буквальную интерпретацию теории ожидаемой полезности (согласно которой Боб и в самом деле умножает полезности на их вероятности), B счел бы теорию Aстранной. Но предположим, что A переходит к аксиомам Сэвиджа и спрашивает B, правдоподобно ли, что решение, которое Боб принял бы с учетом различных ситуаций выбора, будет соответствовать этим аксиомам, и считает ли B эти требования разумными. Поскольку B скорее всего согласится с тем, что аксиомы описывают вполне разумное поведение, то A сможет обратиться к теореме Сэвиджа, убеждая B принять теорию ожидаемой полезности как дескриптивную, ведь B согласился, что аксиомы Сэвиджа подходят для описания поведения. Речь идет не о том, что A сможет убедить B считать максимизацию ожидаемой полезности с субъективным распределением вероятностей хорошим описанием процесса принятия решений. Правдоподобным для обоих экономистов будет лишь то, что решения агентов таковы, как если бы они максимизировали ожидаемую полезность.

В-третьих, с помощью аксиоматизации Сэвиджа легче определять субъективную вероятность различных событий, делая акцент на простых ситуациях компромисса и выбора (trade-offs). Предположим, Энн хотела бы вычислить свою субъективную вероятность события: "Кандидат X завершит обучение на курсе успешно". Она могла бы задать себе вопросы: "Поставлю я на кандидатах или на Y?", "Буду ли я утверждать, что шансы X успешно завершить обучение равны 1:2?". Такие вопросы о предпочтениях могут быть более осязаемыми для Энн, чем вопрос: "Какова точная вероятность p, при которой X успешно завершит образование?". Тем не менее, если поведение Энн удовлетворяет аксиомам Сэвиджа, набор таких простых бинарных сопоставлений, как упомянутые выше, выявит единственный параметр p, который можно назвать субъективной вероятностью рассматриваемого события.

Сложности в подходе Сэвиджа к рациональности

Аксиомы Сэвиджа часто рассматриваются как поведенческое определение рациональности. Если Энн или Боб спросят, какое решение будет для них рациональным, им нужно сказать, что, приняв аксиомы, они предполагают, что существуют вероятность и полезность, репрезентирующие их выбор через максимизацию ожидаемой полезности. Они могут спросить, как выяснить "их собственную" вероятность и полезность. Здесь можно вновь обратиться к аксиомам Сэвиджа и предложить Энн и Бобу исследовать свои предпочтения и выявить свои имплицитные верования. Такой подход, однако, сталкивается с некоторыми трудностями.

Во-первых, Энн и Боб могут обнаружить, что их предпочтения противоречат одной или нескольким аксиомам. К примеру, предположим, что Энн рассматривает личные дела двух кандидатов. Кандидат X поступает на курс после колледжа, который Энн хорошо знает. Она видела многих студентов оттуда и заметила, что приблизительно 60% из них закончили обучение успешно. Кандидат Y приехал из другой страны. У Энн нет никакого опыта общения со студентами ни из колледжа, который закончил Y, ни вообще из его страны. Из-за незнания она может приравнять вероятность успеха этого кандидата к доле успешных студентов среди всех участников программы. Предположим, что эта доля 60%. Но Энн знает, что это число было выбрано произвольно, как некая величина по умолчанию. Напротив, 60-процентная вероятность успеха кандидата X основана на существенном объеме информации. Эти две вероятности хотя и равны, но по-разному. В частности, неудивительно, если Энн захочет сделать ставку на кандидата X, а не Y. Как правило, она будет чувствовать себя увереннее, полагаясь на такое случайное событие, распределение которого ей известно.

Байесовский подход, служащий логическим продолжением аксиом Сэвиджа, не в состоянии отличить вероятности, основанные на данных, от тех, что выводятся из правила по умолчанию (синоним неведения). Рассмотрим ставки в двух играх с монетами, одна из которых была полностью проверена и признана "честной", а о другой ничего не известно.

Результат при броске первой монеты характеризуется распределением "50 на 50" - благодаря проверке. Бросок второй монеты будет описываться точно так же в соответствии с принципом безразличия Лапласа. Но на самом деле вероятность для этих монет различается, и желание поставить на них не обязательно одинаково для всех⁸. В своем классическом эксперименте Элсберг показал, что люди часто предпочитают ставки с известными вероятностями ставкам с неизвестными⁹.

Другая фундаментальная трудность с описательной интерпретацией аксиом, лежащих в основе теории ожидаемой полезности, связана с аксиомой полноты, а именно с предпосылкой о том, что лицо, принимающее решение, всегда предпочитает одно случайное событие другому, выбирая между ними¹⁰. Энн и Боб могут обнаружить, что у них нет четкого предпочтения при выборе среди некоторых пар событий. Если бы мы спросили Боба, предпочел бы он служить или не служить в вооруженных силах, его ответ, вероятно, был бы: "Именно это я и пытаюсь узнать". Аналогично выбор Энн между различными кандидатами - проблема, для решения которой она в первую очередь интересуется вероятностью.

Аксиома полноты - стандартная предпосылка в теории потребления. Если результаты различных ситуаций выбора достоверно известны потребителю, эта аксиома довольно безобидна. Если Дэну предложат выбирать между шоколадным и ванильным мороженым, он, вероятно, без колебаний выберет шарик определенного вкуса. Ему не потребуется для этого осуществлять какие-либо вычисления. У потребителя есть хорошо определенные предпочтения, понятные ему благодаря интроспекции. Соответственно если Дэн предпочитает шоколад ванили, никто не сумеет убедить его, что его выбор неверен и что на самом деле ваниль он любит больше, чем шоколад.

Но при наличии неопределенности - как относительно объективных результатов, так и в связи с субъективным опытом - полнота предпочтений становится не столь очевидной. Представим себе, что Кэрол устраивается на новую работу и ей предлагают пенсионную программу либо с установленными выплатами, которые сложным образом зависят от заработной платы и выслуги лет, либо с установленными взносами, когда пенсия зависит от внесенного количества денег, отдачи

⁸ См.: Schmeidler D. Subjective Probability and Expected Utility without Additivity // Econometrica. 1989. Vol. 57, No 3. P. 571 - 587.

⁹ См.: Ellsberg D. Risk, Ambiguity and the Savage Axioms // Quarterly Journal of Economics. 1961. Vol. 75, No 4. P. 643 - 669. Есть и другие причины, почему в наблюдаемом поведении аксиомы Сэвиджа могут нарушаться. Существует общая критика парадигмы рационального выбора, например эффекты контекста, асимметрия потерь и выгод и другие явления (Tversky A., Kahneman D. Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases // Science. 1974. Vol. 185, No 4157. P. 1124 - 1131). О нарушениях транзитивности см.: Lichtenstein S., Slovic P. Reversals of Preferences between Bids and Choices Gambling Decisions // Journal of Experimental Psychology. 1971. Vol. 89, No 1. P. 46 - 55). Другие проблемы характерны для модели ожидаемой полезности, в частности, предпочтения, зависимые от контекста (кратко упомянуты выше).

¹⁰ См.: Shafer G. Savage Revisited // Statistical Science. 1986. Vol. 1, No 4. P. 463 - 486; Bewley T. Knightian Decision Theory: Part I // Decisions in Economics and Finance. 2002. Vol. 25, No 2. P. 79 - 110; Gilboa I., Postlewaite A. W., Schmeidler D.Rationality of Belief, or: Why Savage's Axioms are neither Sufficient nor Necessary for Rationality // PIER Working Paper 07 - 001 / Penn Institute for Economic Research, Department of Economics, University of Pennsylvania. 2006.

от инвестиций и выбора типа выплат. Кэрол должна сделать выбор, как и Дэн, выбирающий вкус мороженого. Но ее выбор сильно отличается от ситуации Дэна. У нее, по-видимому, не будет никаких априорных предпочтений между планами. В случае Кэрол формированию предпочтений должны предшествовать поиск и анализ фактической информации. По крайней мере, в любой момент времени в будущем и при любом исходе в ситуации неопределенности, связанной, скажем, с ее здоровьем, она предпочтет иметь больше денег - вот все, что Кэрол может сказать априори. Но этих предпочтений, предшествующих анализу, недостаточно, чтобы осуществить сложный выбор среди неопределенных вариантов, - необходимо дополнительное исследование, которое может провести сама Кэрол или кто-то за нее. Анализ двух планов предполагает оценку различных рисков, то есть оценку вероятности. Из этого следует, что оценка вероятности во многих случаях есть шаг к формированию предпочтений. Спрашивать у Кэрол, какие вероятности она приписывает тем или иным событиям, наблюдая ее собственные предпочтения, - значит попасть в замкнутый круг, не помогая ей ни в оценке ее вероятностей, ни в формировании предпочтений.

Заметим также, что Кэрол (в отличие от Дэна, который выбирает мороженое) не может применить свой прошлый опыт, выбирая между этими вариантами и сравнивая соответствующие полезности, ведь она никогда раньше не выходила на пенсию. Даже опыт других людей может оказаться бесполезным, ведь никто еще не жил в той экономической ситуации, в контексте которой Кэрол выйдет на пенсию. Конечно, прежде чем принять окончательное решение, она подумает, посчитает и проконсультируется с друзьями и коллегами. В отличие от Дэна, кто-то сможет убедить Кэрол, что, например, не надо выбирать корпоративную пенсионную программу, поскольку соответствующую компанию может поглотить другая фирма.

В рамках простой задачи потребительского выбора (как у Дэна) предпочтения можно назвать примитивными. Примитивные предпочтения не обязательно неизменны: в долгосрочной перспективе они могут меняться под воздействием рекламы, новой информации или привычек. Однако такие предпочтения существуют, доступны для интроспекции без дополнительных рассуждений и в краткосрочном периоде оказываются стабильными. Напротив, предпочтения Кэрол не могут быть примитивными, они суть результат анализа, порой даже точных вычислений, зависящих от вероятности различных событий.

Поэтому мы полагаем, что предпочтения рационального индивида, принимающего решение, могут не соответствовать аксиомам Сэвиджа. Верно и обратное: не всякий индивид, поведение которого соответствует этим аксиомам, рационален. Причина в том, что аксиоматический подход не накладывает ограничений ни на субъективную вероятность, ни на функцию полезности, которую можно использовать для представления предпочтений. Такая агностическая позиция может быть уместна для функции полезности. Действительно, в большинстве учебников подчеркивается, что рациональность потребителя касается лишь "внутренней" последовательности его поведения и не накладывает никаких фундаментальных ограничений на его вкусы.

Однако в вероятностном контексте подобная позиция гораздо сомнительнее. Поскольку вероятностные верования могут либо соответствовать данным, либо расходиться с ними, некоторые верования более рациональны, чем другие. Предположим, что согласно верованиям Энн, влияющим на ее выбор, кандидаты, закончившие определенную школу, с высокой вероятностью добиваются успеха, хотя такие кандидаты постоянно проваливаются на экзаменах. Такие верования можно считать нерациональными (unreasonable). Точно так же многие верования в сверхъестественные явления и суеверия считаются иррациональными (irrational), поскольку вступают в противоречие с фактами. Однако поведение индивида, принимающего решения в соответствии с подобными верованиями, вполне может согласовываться с аксиомами Сэвиджа. Другими словами, ограничения, которые аксиоматическая система Сэвиджа накладывает на выбор, касаются только его внутренней последовательности, а потому недостаточны, чтобы дать интуитивно ясное определение рациональности¹¹.

Аксиоматическая трактовка максимизации субъективной ожидаемой полезности весьма привлекательна, но обоснование субъективной вероятности в экономическом моделировании остается неудовлетворительным. Индивид, принимающий решение, может для формирования вероятностных верований руководствоваться аксиоматическими выводами Сэвиджа, но эти аксиомы значительно менее правдоподобны, чем кажется на первый взгляд. В частности, агенты могут обнаружить, что у них нет никаких априорных предпочтений на данном множестве вариантов или что нарушается принцип обязательности.

Таким образом, мы приходим к двум проблемам. Во-первых, существует ли альтернатива модели максимизации ожидаемой полезности при данных вероятностных верованиях? Во-вторых, если верования не образуются из предпочтений на множестве лотерей, то на чем они основаны? К этим проблемам мы и обратимся.

Альтернативный подход: модель с множественными априорными верованиями

Модели, в которых предполагается, что индивиды, принимающие решение, максимизируют ожидаемую полезность, были чрезвычайно полезны для понимания экономического поведения в ситуациях неопределенности, независимо от эмпирических или экспериментальных опровержений теории ожидаемой полезности. Ведь ни одна экономическая модель не в состоянии дать абсолютно точное описание реальности. Если показано, что некая полезная модель неверна, то главный вопрос в том, насколько значительны ее дефекты. Может ли она привести к качественно иным, ложным выводам? И если так, то какие модели помогут лучше понять экономические ситуации и дать более удачные прогнозы?

¹¹ В другой работе (Gilboa I., Postlewaite A. W., Schmeidler D. Rationality of Belief, or: Why Savage's Axioms are neither Sufficient nor Necessary for Rationality) это показано более детально.

Снова рассмотрим пример, в котором Энн хочет оценить вероятность успеха кандидата из другой страны, не имея никакого опыта работы со студентами ни из его колледжа, ни из этой страны. Выше мы показали, что в силу незнания Энн может сформулировать для себя вероятность успеха, равную среднему значению (скажем, 60%). Но она знает, что это число принято по умолчанию, и она в нем совсем не уверена. Принимать решения, зависящие именно от этой вероятности, нелегко, полагаться на эту произвольную оценку нерационально. Энн может построить более четкую модель своих знаний и не привязываться к точным значениям вероятности. Вместо этого она может опереться на диапазон значений вероятности (скажем, между 55 и 65%¹²). Энн могла бы вычислить свою ожидаемую полезность для каждого распределения вероятности и принять решение, основанное на наборе полученных математических ожиданий. Например, если Энн хочет быть осторожной, то она могла бы приписать каждому варианту минимальное математическое ожидание на множестве своих априорных верований (priors) и выбрать вариант, который соответствует максимальному из этих минимумов¹³.

Модель множественных априорных верований, в которой агент, принимающий решение, выбирает вариант, максимизирующий минимальную ожидаемую полезность для возможных верований, выступает альтернативой стандартной модели ожидаемой полезности. Более того, диапазон значений вероятности может отражать интуитивно понятный факт, что индивид, принимающий решение, более уверен в одних верованиях, чем в других. Но является ли интуитивная модель множественных априорных верований источником новых идей? Ответ - "да".

В частности, эта модель применялась к задаче оптимального инвестирования. Предположим, у Кэрол есть 100 акций корпорации Intel, а также несколько тысяч долларов в банке. Кэрол должна решить, продать ей часть акций, купить больше или оставить свой инвестиционный портфель неизменным. В стандартной модели ожидаемой полезности (если отвлечься от трансакционных издержек или от того, что цена акций сама дает какую-то информацию) будет существовать единственная цена, по которой Кэрол не купила бы и не продала бы акции; при любых других значениях цены она осуществила бы либо продажу, либо покупку акций. Однако более вероятно, что должен существовать диапазон цен, при которых Кэрол не захочет

¹² Можно, конечно, утверждать, что у Энн должно быть априорное верование на множестве априорных верований, и просто свести задачу к одному верованию, вычислив сложные вероятности. Однако если Энн не знает, каким должно быть априорное верование, то выбрать одно верование из всего множества ей будет еще труднее.

¹³ Модель множественных априорных верований была аксиоматизирована Гилбоа и Шмайдлером (Gilboa I., Schmeidler D. Maxmin Expected Utility with a Non-Unique Prior // Journal of Mathematical Economics. 1989. Vol. 18, No 2. P. 141 - 153). Обзор других моделей, в которых применяется принцип множественных первичных верований, см.: Bewley T. Knightian Decision Theory: Part I. P. 79 - 110; Klibanoff P., Marinacci M., Mukerj'i S. A Smooth Model of Decision Making under Ambiguity // Econometrica. 2005. Vol. 73. No 6. P. 1849 - 1892; Seo K. Ambiguity and Second-Order Belief. 2007. http://troi.cc.rochester.edu/_kseo/ambcomll052007.pdf; Maccheroni F., Marinacci M., Rustichini A. Ambiguity Aversion, Robustness, and the Variational Representation of Preferences // Econometrica. 2006. Vol. 74, No 6. P. 1447 - 1498; Maccheroni F., Marinacci M., Rustichini A. Dynamic Variational Preference // Journal of Economic Theory. 2006. Vol. 128, No 1. P. 4 - 44. Эти модели тоже основаны на аксиомах, то есть правила принятия решения в них согласуются с соответствующим форматом поведения.

ни покупать, ни продавать. В модели множественных априорных верований именно это и происходит¹⁴.

Чтобы понять логику этого результата, предположим, что есть два состояния мира и актив A, который приносит положительный доход 1 долл. в состоянии 1 и убыток 1 долл. в состоянии 2. Рассмотрим инвестора, который не владеет активами, но может купить или продать некоторый положительный объем актива с короткой позиции. Он полагает, что вероятность p состояния 1 находится на отрезке от 0,4 до 0,6. Для простоты предположим, что его функция полезности имеет вид и(x) = x. Если он думает о том, приобретать ли дополнительную единицу актива A, то самая низкая ожидаемая полезность при p = 0,4 составит -0,2. Но если инвестор думает, не продать ли ему единицу актива, то самая низкая ожидаемая полезность при p = 0,6 составит также -0,2. Таким образом, если цена актива будет находиться на интервале от -0,2 до 0,2, то инвестор предпочтет не покупать и не продавать актив A.

Модель множественных априорных верований использовалась и при создании модели поиска работы¹⁵. Авторы интересовались, как безработный агент будет реагировать на рост неопределенности на рынке труда. В байесовской модели возросшую неопределенность можно описать как более высокую дисперсию предложений работы, получаемых агентом. При прочих равных условиях, рост дисперсии (при постоянном среднем значении) заставляет агента с большими колебаниями соглашаться на ту или иную вакансию, ведь он знает, что у него есть шанс получить гораздо лучшее место в будущем. Однако идущий вразрез с интуицией вывод о том, что из-за неопределенности агент скорее всего отклонит текущее предложение работы, основан на допущении, что любую неопределенность можно измерить вероятностными методами. Авторы показывают, что в модели множественных априорных верований (снова предположим, что агент не склонен к неопределенности и использует максиминную стратегию, выбирая такой вариант, при котором ожидаемая полезность в наихудшей ситуации максимальна) этот вывод можно заменить на противоположный: в ситуации роста неопределенности, который моделируется как расширение множества возможных априорных верований, агенты с большей вероятностью примут данное предложение, нежели сделают ставку на ожидание лучших вариантов в будущем.

Хансен и Сарджент¹⁶ применили модель множественных верований к макроэкономическим проблемам, показав, что какую бы вероятностную модель ни применял агент, осуществляющий экономическую политику, достоверно описать эту модель не удастся. Рассматривая набор априорных верований для данной модели и интересуясь тем, насколько экономическая политика будет подвержена колебаниям

¹⁴ Dow J., Werlang S.R.C. Uncertainty Aversion, Risk Aversion, and the Optimal Choice of Portfolio // Econometrica. 1992. Vol. 60, No 1. P. 197 - 204.

¹⁵ Nishimura K., Ozaki H. Search and Knightian Uncertainty // Journal of Economic Theory. 2004. Vol. 119, No 2. P. 299 - 333.

¹⁶ Hansen L.P., Sargent T.J. Acknowledging Misspecification in Macroeconomic Theory // Review of Economic Dynamics. 2001. Vol. 4, No 3. P. 519 - 535; Hansen L.P., Sargent T.J. Robust Control of Forward-Looking Models // Journal of Monetary Economics. 2003. Vol. 50, No 3. P. 581 - 604; Hansen L.P., Sargent T.J. Robustness. Princeton: Princeton University Press, 2007.

при изменении вероятности, лежащей в основе модели, они подвергают сомнениям классические результаты. Хансен, Сарджент и Талларини¹⁷ сопоставляют стратегии сбережений при максимизации ожидаемой полезности и при условии использования модели множественных априорных верований. Они показывают, что во втором случае рыночная цена риска оказывается намного ближе к эмпирическим оценкам, чем для классической максимизации ожидаемой полезности.

Таким образом, модель множественных априорных верований дает качественно иные и более правдоподобные результаты по сравнению со стандартной байесовской моделью. Последняя вполне пригодна для многих ситуаций, в которых теоретические результаты качественно не меняются при анализе с помощью новой модели. Однако многие теоретические выводы в существенной мере зависят от наличия априорного верования, определяемого одной вероятностью. Когда результат зависит от такого верования, любой может усомниться в его широкой применимости.

Формирование верований

Аксиомы Сэвиджа могут убедить Энн и Боба в том, что они действительно хотят максимизировать ожидаемую полезность относительно субъективного априорного верования и помочь им выявить эту предпосылку, если бы у них были полные предпочтения, удовлетворяющие аксиомам. Однако тем, кто принимает решение, пытаясь определить эти предпочтения через формирование верований, аксиомы будут не очень полезны. Как Энн и Бобу определить априорные верования? Какие верования разумны?

Начнем с Энн. Предположим, что, пытаясь предсказать успех нового кандидата, она хочет использовать все доступные данные о результатах прошлых аспирантов. Однако она также хотела бы, чтобы данные о тех, кто больше похож на нового кандидата, имели больше веса в оценке вероятности. Один из способов сделать это - выбрать "функцию подобия", с помощью которой измеряется степень сходства двух кандидатов, а затем вычисляется относительная частота успеха среди аспирантов на курсе, причем каждый аспирант взвешивается по степени подобия новому претенденту. Таким образом, "вероятность" успеха кандидата будет представлять собой сумму общих черт всех успешных аспирантов, деленную на сумму общих черт кандидата и всех остальных аспирантов, независимо от того, насколько успешно они завершили обучение.

Если функция подобия постоянна, то формула сводится к стандартным эмпирическим частотам, где всем прошлым наблюдениям придается одинаковый вес и игнорируются различия в степени подобия между бывшими кандидатами и новым. Если функция подобия принимает значение "1" для случаев, которые идентичны новому по всем измеримым переменным, и "О" - для всех остальных случаев,

¹⁷ Hansen L.P., Sargent T.J., Tallarini T.D. Robust Permanent Income and Pricing // Review of Economic Studies. 1999. Vol. 66, No 4. P. 873 - 907.

то формула, взвешенная по подобию, становится эмпирической частотой того суженного набора данных, который определяется значениями этих переменных. Взвешенная по подобию относительная частота, таким образом, описывает непрерывный интервал между этими крайними значениями¹⁸.

Кажется, что проблема поиска соответствующей вероятности заменяется проблемой обнаружения подходящей функции подобия. Однако сведение вероятности к подобию является значимым шагом вперед. В частности, если бы пришлось использовать взвешенную по подобию частоту как формулу для прогноза, то "объективную" функцию подобия можно было бы вычислить на основе существующих данных, отыскав функцию, которая наилучшим образом соответствует этим данным. Мы можем проиллюстрировать этот процесс на примере Энн.

Начав с выбора определенного параметризованного семейства функций подобия, Энн могла бы мысленно представить, что просматривает всю базу данных по аспирантам (для каждой функции из этого семейства) и для каждого случая i с учетом всех остальных аспирантов в базе данных, используя для каждого наблюдения i определенную функцию подобия, формулирует свой прогноз. Она выбрала бы функцию подобия, которая минимизирует для этих гипотетических предсказаний сумму квадратов ошибок относительно наблюдаемой реализации. Функция подобия, минимизирующая сумму квадратов ошибок, тогда использовалась бы для оценки вероятности успеха в следующем по порядку наблюдении. Полученную функцию можно назвать "эмпирическим подобием"¹⁹.

Этот подход предлагается как модель формирования верований агентом, принимающим решения. У такого подхода есть несколько преимуществ. Во-первых, верования здесь обычно не являются результатом интроспекции, а возникают как итог сознательных расчетов, основанных на прошлом опыте, наблюдениях и разговорах с людьми. Они, возможно, не всегда совпадают с точными расчетами по модели, но в них и в самом деле взвешиваются различные наблюдения, изучаются сами веса на основе прошлого опыта. "Вскрытие" того, что для многих остается черным ящиком, и анализ процесса формирования верований позволяет нам делать выводы, какие верования более рациональны для того, кто принимает решение.

В частности, многие экономические задачи касаются выбора равновесия, например в случае предсказания "пузырей" и обвалов на рынке. В основе задачи выбора равновесия лежит проблема формирования верований: чтобы прийти к некоему равновесию, игроки должны верить, что они к нему придут. Если мы сумеем предсказать, какие верования будут преобладать, то сможем понять, к какому равновесию мы придем.

Во-вторых, при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать моделям, которые обладают большей дескриптивной точнос-

¹⁸ См. аксиоматизацию этого подхода в: Billot A., Gilboa I., Samet D., Schmeidler D. Probabilities as Similarity-Weighted Frequencies // Econometrica. 2005. Vol. 73, No 4. P. 1125 - 1136; Gilboa I., Lieberman O., Schmeidler D. Empirical Similarity // Review of Economics and Statistics. 2006. Vol. 88, No 3. P. 433 - 444.

¹⁹ Gilboa I., Lieberman O., Schmeidler D. Op. cit.

тью. Первичная проверка модели - это идеи, которые следуют из ее предсказаний. Но от метода моделирования определенной задачи зависит, какие вопросы может задать исследователь. Если, вместо того чтобы задавать верования экзогенно, ученые решают моделировать их формирование в явном виде, то в центр анализа помещается относительное воздействие на верования различных факторов. Так, в одной из работ поставлен вопрос: отличаются ли систематически верования детей, родители которых разорились во время Великой депрессии, от тех, кто меньше пострадал?²⁰ Считают ли уволенные работники вероятность возникновения серьезной рецессии в следующие пять лет высокой? Это примеры чрезвычайно важных вопросов, для ответа на которые требуется моделировать формирование верований.

Такое моделирование может помочь и в понимании того, применима ли определенная модель верований. Рассмотрим, в частности, задачу Боба. Если мы применим к этой проблеме анализ частот, взвешенных по подобию, то результат может оказаться менее удовлетворительным, чем в случае с Энн. Например, тот факт, что США были вовлечены в две войны в Персидском заливе за прошлые два десятилетия, не должен увеличивать вероятность их участия в аналогичной войне в ближайшее десятилетие. На самом деле причинно-следственные зависимости между войнами достаточно сложны, и существует множество различных вариантов развития событий. У Энн были данные о многих студентах, чьи результаты можно было считать независимыми друг от друга. Даже при том, что студенты были непохожи друг на друга, мы могли ввести некое представление о вероятности, в виде эмпирических частот, взвешенных по подобию, или логистической регрессии. Напротив, Боб сталкивается с задачей, где примеров немного и они явно связаны причинной зависимостью. Мы вряд ли сумеем найти рациональный, обоснованный способ задать вероятность в этом случае, поэтому придется иметь дело с менее структурированными моделями (такими, как упомянутая выше модель множественных априорных верований). Моделирование формирования верований помогает не только отыскать рациональные верования, но и обозначить сферу применимости вероятностных моделей.

Байесовский подход не дает модель формирования априорных верований, но описывает способ обновления этих верований (согласно правилу Байеса). Вряд ли этот подход единственно возможный. В частности, обновление по Байесу не объясняет трансформацию верований в отсутствие новой информации. Часто люди меняют свои верования из-за аргументов, в которых нет новой информации, но с помощью которых можно сделать иные выводы из того же набора фактов²¹.

²⁰ Shea J. Childhood Deprivation and Adult Wealth. 2003. Unpublished paper.

²¹ Арагонес, Гилбоа, Постлуэйт и Шмайдлер (Aragones E., Gilboa I., Postlewaite A. W., Schmeidler D. Fact-Free Learning // American Economic Review. 2005. Vol. 95, No 5. P. 1355 - 1368) утверждают, что из-за сложности вычислений такое обучение "без фактов" неизбежно, даже если агенты рациональны. Экономисты, таким образом, должны исследовать в реалистичных моделях пути формирования и модификации верований.

* * *

Стандартные вероятностные модели, в которых использована теория ожидаемой полезности, сослужили хорошую службу почти во всех областях экономической науки. Однако мы полагаем, что у этого подхода есть два существенных недостатка, из-за которых не все идеи, полученные из формальных моделей, оказываются удачными.

Первое ограничение: в стандартной модели ожидаемой полезности (а также в ее расширениях, где используется байесовский подход) исследуются верования, которые описываются единственной вероятностной мерой. Мы утверждаем, что если использовать более общие модели верований, то результаты могут стать реалистичнее. Второе ограничение: нерешенная проблема происхождения верований. Мы показали, что если внести ясность в процесс формирования верований, можно повысить качество предсказаний (как в случае с задачей выбора равновесия) независимо от того, являются ли эти верования байесовскими.

Ограниченность стандартной модели ожидаемой полезности и подхода Байеса отчасти является предметом рассмотрения в классической статистике. Классическая задача статистического вывода предполагает набор вероятностей, или распределений. Точечная и интервальная оценки представляют собой соответственно выбор распределения или ряда распределений из первоначального набора. Тестирование статистических гипотез - это, по сути дела, изучение возможности сужения первоначального множества распределений до некоторого подмножества. Поэтому в статистике формирование верований моделируется в явном виде на основе данных. Эмпирические исследования в экономической теории обычно основаны на классических (небайесовских) статистических техниках, таких как проверка гипотез и интервальная оценка. Неявно применяется подход, при котором вводится набор допустимых вероятностных моделей, а наблюдения используются с целью сузить это множество. Предпосылка о том, что экономические агенты ведут себя в соответствии с классическим подходом, и явное моделирование формирования верований, основанное на наблюдениях, могут принести пользу экономической теории.

Перевод с английского М. Виноградовой

Публикатор:

Постоянная ссылка для научных работ (для цитирования):

Найденный поисковым роботом источник:

Автор(ы) публикации - И. ГИЛБОА, Э. ПОСТЛУЭЙТ, Д. ШМАЙДЛЕР:

Комментарии: