В основе точных наук, помимо здравого смысла, несомненно лежит арифметика, наука о числах - абстрактных математических объектах, выражающих идею количества. Но на протяжении истории развития человеческой цивилизации числам часто приписывались некие особые свойства, не соответствующие категории количества. И по настоящее время эксплуатируются идеи, восходящие к античным временам, об эзотерических свойствах чисел. Связь чисел с земным и космическим, с божественным и дьявольским, с моралью общества и психикой человека находит прибежище в "нумерологии" - науке о числах, обладающих магическими и иными свойствами иррационального порядка. Оставляя в стороне вопрос о правомерности употребления слова "наука" в сочетании с названием "нумерология", ниже обсуждается сама идея количества, как одного из свойств реального мира.

Число как свойство

Что может быть общего, например, между каплей крови, спелым помидором, лепестком цветка мака и рубином? Вероятно, красный цвет. Мы говорим, что указанные выше объекты обладают неким общим свойством, которое органами зрения воспринимается как конкретный цвет. Слово "цвет" характеризует физиологические особенности органов зрения человека и некоторых видов животных различать частоты некоторого диапазона спектра (для человека это длины волн порядка от 380 до 780 им) и интенсивности светового излучения. В частности, красный цвет физически связан с длиной волны 620-780 нм светового излучения. Точнее говоря, органы зрения при достаточной интенсивности света способны различать частоты излучения, тогда как в сумерках, при малой интенсивности светового потока, глаз способен различать меру интенсивности излучения. Тем не менее, и градации серого цвета от черного до белого при малой интенсивности освещения, и основные цвета и оттенки радуги при достаточном освещении принято называть цветом, а сами цвета идентифицируются словами, уникальными для каждого цвета.

Что может быть общего между множествами звездочек {*****}, сердечек {vvvvv}, ромбиков {^^^^^}, палочек {|||||} или пальцев на руке? Мы говорим, что их пять. Это означает, что, во-первых, между

стр. 34

элементами данных множеств (звездочками, сердечками и пр.) можно установить взаимооднозначное соответствие. Во-вторых, предполагается существование категории "количество", которая охватывает и другие наборы множеств типа {*}, {v}, {^}, {|} и т.д. со смыслом "один элемент", или {**}, {vv}, {^^}, {||} и т.д. со смыслом "два элемента" и т.д., где в рамках наборов также возможно установление взаимооднозначных соответствий между элементами множеств. В-третьих, в утверждении "их пять" указано подходящее для данной ситуации определение количества, выраженное числительным "пять".

Прослеживается нечто общее, что присуще парам понятий "цвет" - "количество" и "красный" - "пять". Так, в словосочетаниях последние выступают определением к названиям тех объектов, которые соответствующими свойствами обладают. Сочетание "красное дерево" может означать древесину, обладающую свойством "красный" из категории "цвет". Сочетание "пять деревьев" означает, что деревья обладают свойством "пять" из категории "количество". Как слово "красный" не отделимо от понятия "цвет", так и слово "пять" не отделимо от понятия "количество", хотя грамматически "красный" является прилагательным, а "пять" - числительным.

Природа цвета обусловлена физиологическими особенностями восприятия внешнего мира органами зрения. Механизм восприятия цвета отличен от восприятия звука, запаха, тепловых или болевых ощущений посредством других органов чувств, хотя природа нервных раздражений и передачи воздействий от биологических сенсоров к центральной нервной системе и головному мозгу подчинена общим химическим законам. Также единообразна и природа чисел.

Числа как символы

Рассматривая то общее, что присуще множествам различных объектов типа звездочек, сердечек, ромбиков, палочек, а также яблок, кур, мешков, лошадей, повозок и пр., с необходимостью приходишь к пониманию того, что выражающих количество чисел много или бесконечно много, и поэтому их удобнее обозначать не с помощью уникальных слов, как это имеет место в обозначениях цвета, а с помощью специального конечного набора графических символов (цифр) и правил их соединения.

Теоретически простейшим графическим обозначением является черточка. Вероятно поэтому первые три цифры в римской системе (одна, две и три вертикальные черточки) и китайской (одна, две и три горизонтальные черточки) состоят именно из черточек, количественно отражающих свойства множеств типа {|}, {||} и {|||}. В десятичной системе счисления изначально арабские цифры от 1 до 9 изображались так, что каждая цифра содержала количество углов, соответствующих выражаемому

стр. 35

цифрой количеству. Нуль, обозначаемый кружком, не содержал углов и соответствовал отсутствию количества в том разряде, в котором он находился в числе. Настоящее правописание цифр в целом не сохранило идею непосредственного указания количества в начертании самой цифры, поэтому цифры воспринимаются как некие абстрактные обозначения количества, к которым мы просто привыкаем по мере обучения и использования. Фактически закрепляются соответствия типа: {*}, {v}, {^}, {|} и т.д. -> "1"; {**}, {vv}, {^^}, {||} и т.д. -> "2"; {***}, {vvv}, {^^^}, {|||} и т.д. -> "3" и т.д. и т.п., а "ноль" характеризует отсутствие элементов в множестве: {} -> "0". В вычислительной технике используется шестнадцатиричная система счисления, в которой помимо арабских цифр применяются буквы от А до F, которые в данном контексте также являются цифрами, обозначающими десятичные числа от 10 до 15.

Поскольку символы "0", "1", "2" и т.д. являются уникальными в том смысле, что по общепринятому соглашению всегда означают цифры, то, например, запись "100" всегда означает число. Однако в двоичной системе счисления это число имеет количественное значение "десятичное 4", в восьмеричной - "десятичное 16", а в шестнадцатиричной - "десятичное 256". Такая неопределенность может быть снята с помощью дополнительных знаков. Например: d - десятичное число, b - двоичное число (b100=d4), h - восьмеричное число (h100=d16), x - шестнадцатиричное число (x100=d256) и т.д. В частности, в языках программирования ввод и вывод значений переменных осуществляется под управлением форматов, указывающих вид аргумента. Это подчеркивает то обстоятельство, что внутримашинное представление числа может быть любым, хотя в техническом отношении оказывается оптимальным двоичное представление, опирающееся на устройства триггерного типа. Но в отличие от искусственно синтезированных ЭВМ мы пока плохо представляем, как числа хранятся в коре головного мозга. Можно лишь предположить, что числа запоминаются как любые другие символы, аналогично картинкам или звуковым фрагментам, а не как некие специфические элементы из категории количества. В противном случае мы бы обладали врожденной способностью к счету.

Таким образом, числа являются специализированными словами, означающими количество, но сами по себе, в своей графической структуре, числа количественной составляющей не несут. Число в виде последовательности цифр - это некий составной символ, который требует дополнительной интерпретации,

Операции над числами - "спичечная" арифметика

Если числа обозначать таким количеством вертикальных черточек-спичек, которое соответствует обозначаемому числом количеству, то будем иметь ряд "спичечных" натуральных чисел вида: |, ||, |||, ||||, ||||| и

стр. 36

т.д. Добавим к этому ряду знак отсутствия количества 0. Такие обозначения количества, очевидно, нерациональны из-за трудоемкости изображения и сложности восприятия, превышающих число "шесть", хотя последнее трудно назвать "большим" числом. Действительно, сложность восприятия "спичечного" числа обусловлена количеством черточек в его обозначении, которое растет линейно с ростом значения числа. Тогда как количество цифр в позиционном представлении числа определяется логарифмической зависимостью [logNn]+1, где n - натуральное число в системе счисления по основанию N, а квадратные скобки выделяют целую часть значения логарифма. Однако интерес представляют различия между операциями над десятичными и "спичечными" числами, т.е. между привычной и "спичечной" арифметикой.

Прежде всего отметим, что "количество", выражаемое числами, включает в себя идею числового ряда, поскольку множество чисел обладает логической самоупорядоченностью, выражаемой через сравнительные понятия "больше" или "меньше". Эта упорядоченность может быть записана в привычном виде "nP> Сложение. Сложение двух "спичечных" чисел сводится к объединению двух обозначений чисел. Например, ||+|||=||||| (2+3=5).

Вычитание. Вычитание из одного "спичечного" числа другого (от большего - меньшее) сводится к исключению в обозначении уменьшаемого числа вычитаемого числа. Например, |||||-|||=||||-||=|||-|=|| (5-3=2).

Умножение. Умножение двух "спичечных" чисел сводится к замене каждой черты в обозначении одного числа другим числом. Например, |||*||=||+||+||+=|||||| (3*2=6).

Деление. Деление двух "спичечных" чисел сводится к последовательному выделению в обозначении делимого делителя и замены его на черту. Например, |||||||:||=|+|||||:||=||+|||:||=|||+|:|| (7:2=3,5).

Может показаться странным то, что в "спичечной" арифметике нет необходимости в таблицах сложения и умножения. Однако это вызвано лишь тем, что мы привыкли пользоваться десятичной, точнее, - символической системой счисления.

Принципиальное отличие между "спичечными" и десятичными числами в том, что первые в структуре обозначения числа отражают его количество, тогда как последние являются символическим обозначением количества, требующим интерпретации. Потому и манипуляции над позиционными числами сводятся к перекодировке символических обозначений количества, которая требует временных и энергетических затрат. В этом смысле "спичечная" арифметика кажется более адекватной реальному положению дел, чем арифметика, использующая какую-либо

стр. 37

позиционную систему счисления. Неспроста латинское слово calculare ("считать") произошло от calculus - "камешек", поскольку в доспичечную эру камни могли служить подспорьем для расчетов. Действительно, сложение "спичечных" чисел демонстрирует условность операции сложения, поскольку количество черточек левой и правой части равенств одинаково, тогда как запись в десятичных числах сводится к выборке из таблицы сложения чисел, т.е. к операции над символами.

В простейшей двоичной системе счисления, которая стала популярна благодаря развитию вычислительной техники, таблица сложения и умножения чисел самая короткая: 0+0=0, 1+0=0+1=1, 1+1=10 и 0*0=1*0=0*1=0, 1*1=1. Для реализации арифметических операций в ЭВМ применяется арифметико- логическое устройство (АЛУ), в котором аппаратными средствами реализуется в том числе и таблица сложения двоичных чисел. Фактически АЛУ служит перекодировщиком поступающих на его регистры позиционных чисел, но даже в названии "АЛУ" выделяются арифметические операции и логические операции. Однако ЭВМ по сути является не столько машиной, оперирующей числами, сколько логической машиной. Первая "вычислительная" машина, созданная Ч.Бебиджем в 1833 г., называлась "Analytical Engine" ("Аналитическая машина"), тогда как распространенный термин "computer" ("вычислитель") в настоящее время обозначает не столько электронный арифмометр, сколько универсальный преобразователь символьной информации.

В природе нет чисел как объектов и нет операций над числами. Числа и операции над ними являются логическими построениями, основанными на общем порядке вещей. Укладывание яблок в ящик не означает "сложения" яблок в ящике. Расходование в камере сгорания двигателя автомобиля бензина из бензобака не означает "вычитания" объемов бензина из бензобака. То, что движение планет подчиняется закону всемирного тяготения, не означает, что природа "решает" дифференциальные уравнения с целью определения траектории планет. Поскольку расчленение природы является не фактической, а умозрительной операцией, то и, соответственно, законы взаимодействия частей также являются логическими построениями, которые в конечном счете либо согласуются с реальным положением дел, либо не согласуются.

Объективная начинка в субъективной упаковке

Сила арифметики заключается в том, что, во-первых, она объективна. поскольку подчинена собственной внутренней логике и, во-вторых, она согласуется с восприятием мира человеческим разумом. Понимание мира через части, свойства и их взаимодействие естественным образом приводит к понятию "количество" и числовому ряду. С другой стороны, собственная логика чисел предполагает операцию их сложения, как переход

стр. 38

от одной точки зрения на условное разбиение на части к другой. Можно говорить о численности людей в доме, городе, стране, на континенте. Операцией, соответствующей увеличению элементов в множестве, которое в конкретной ситуации рассматривается как объединение других множеств, становится операция "сложения" натуральных чисел, характеризующая увеличение количества для объединяемых множеств. Операция "вычитание" является логически обратной для операции "сложения" и требует расширения натуральных чисел нулем и отрицательными числами, образующими ряд целых чисел. Сложение нескольких одинаковых чисел приводит к определению операции "умножение" и логически обратной ей операции "деление". Последняя требует расширения множества целых чисел до множества рациональных (дробных) чисел и т.д. и т.п. Таким образом, арифметика представляет собой самоорганизующуюся понятийную систему.

Числа могут записываться разными знаками (от букв алфавитов до спецзнаков), с помощью разных систем счисления, но каждое из таких чисел взаимооднозначным образом сопоставимо с числами, записанными, например, в самой простой двоичной системе счисления. Арифметические законы при этом остаются незыблемыми, поскольку опираются не на форму представления чисел, а на их смысл. Например, правило "сумма или разность четных чисел равна четному числу" универсально, поскольку понятия "четное число" и "нечетное число" определяются только позицией в числовом ряду.

Впрочем, в арифметике также есть особые правила, возникшие в связи с потребностями устного счета для конкретной системы счисления. К ним, в частности, относятся признаки целочисленного деления одного числа на другое. С точки зрения альтернативных систем счисления данная задача "решается" простейшим образом: для деления натурального числа а на натуральное число b без остатка необходимо и достаточно, чтобы в записи числа а в системе счисления с основанием b в позиции единиц стоял ноль. Причем результатом такого деления будет число, полученное из а путем вычеркивания нуля из позиции единиц. Однако в рамках одной системы счисления правила деления нацело не всегда просты и очевидны (как деление на "три" в десятичной системе счисления), а операция деления представляет собой достаточно трудоемкую итерационную процедуру.

Фактически в арифметике субъективными оказываются способы обозначения цифр, переменных, операций, функций и пр., ставшие в ходе развития математики стенографическими обозначениями живой речи, выражающей математические идеи. Сущностный же аспект от обозначений не зависит и подчиняется логике, заложенной в определении чисел, образующих числовой ряд, с вытекающими отсюда последствиями. Так, выражение на языке математики "а+b=b+а" является

стр. 39

символическим обозначением идеи "'от перемены мест слагаемых сумма не меняется", но эта идея не зависит от букв "a", "b" и знаков "+", "=", а отражает существенное свойство операции сложения, которым не обладают операции вычитания и деления. Знаковые системы, к какой бы области знаний они ни относились, по форме всегда являются результатом общепринятых соглашений, обусловленных удобством их использования и эволюцией их развития. Сочетание "красное дерево" имеет смысл лишь в контексте русского языка (субъективность формы), хотя оно может быть записано на других языках без потери заложенного в эту фразу содержания (объективность смысла), поскольку и русский язык - это знаковая система.

Нельзя не признать правомерность и такого тезиса: разумные существа с других планет (включая гипотетических) имели бы такую же, как и у нас математику (более или менее развитую), хотя, возможно, и выраженную в иных формах. Поскольку природа едина в своем космическом проявлении.

О сомнительных связях

Как отмечалось выше, общим для множеств {*****}, {vvvvv}, {^^^^^} и пр. является то, что элементов в этих множествах пять. Такое определение количества "пять" подразумевает абстрагирование от конкретики входящих в множества звездочек, сердечек, ромбиков и пр. Понятие "пять" начинает жить самостоятельной жизнью, которая перестает зависеть от родительского примера. Арифметика оперирует именно такими максимально "очищенными" от других признаков числами, в которых нет ничего другого, кроме как обозначения количества.

Однако мы знаем, что число "7" - счастливое число. "13" - "чертова дюжина". "33" - этапный возраст, а "666" - число Зверя. Что постучать по дереву и плюнуть через плечо нужно три раза, а думать - три дня и три ночи. Троица обосновалась в российском триколоре, а в двуглавом российском орле видится то ли символ православного варианта Инь и Ян, то ли надежда на справедливость мудрости "одна голова хорошо, а две - лучше".

Связка "число <- смысл вне количества" сохраняется не только в привычках, которые уходят корнями во времена тщетного поиска философского камня, но и находит отражение в околонаучных изысканиях времени нашего. Так, связь ноля с "пустотой" или "вместилищем всего сущего" - непременная тема многих философствующих субъектов. В выражениях типа "0=a-a" усматривается и "отрицание отрицания", и "борьба и единство противоположностей", и материя- антиматерия... Ноль является атрибутом круглых дат, и 2000-й год - яркий тому пример. Однако ноль не означает ни физическую, ни абстрактную пустоту по определению. Запись десятичного числа "2000" означает, что в разрядах

стр. 40

единиц, десятков и сотен нет "количества", однако в других системах счисления этих нолей в записи числа может и не быть. Вот и получаем, что 2000-й год славен не только по причине Рождества Христова, но и благодаря паре рук с пятью пальцами на каждой у простых смертных.

Перенос смысла может осуществляться и через обозначение числовых рядов естественного происхождения названиями с собственными смыслами. Так, в Китае на время суток спроецировались названия 12-ти зодиакальных знаков, образуя суточный цикл: время Мыши (23:00-01:00), Быка (01:00-03:00), Тигра (03:00-05:00), Кролика (05:00-07:00), Дракона (07:00-09:00), Змеи (09:00-11:00), Лошади (11:00-13:00), Овена (13:00-15:00). Обезьяны (15:00-17:00), Петуха (17:00-19:00), Собаки (19:00-21:00), Кабана (21:00-23:00). Поэтому, например, в словах со смыслом "до полудня", "после полудня" или "меридиан" (линия полуночи и полудня) вместо "полдень" используется иероглиф "лошадь", а вместо "полночь" - иероглиф "мышь". Нагляден также пример шестидесятиричного китайского Цикла, согласно которому, в частности, 2000-й год является годом Дракона, металла, старшего брата.

Возможна проекция числового ряда на некоторую последовательность согласно схеме: '"название числа -> название объекта". Например, "1" - Итиро (японское имя собственное, "Первый-сын"), "2" - вторник. "3" - Сабуро (японское имя собственное, "Третий-сын"), "4" - четверг, "5" - пятница, "6" - "шестерка" (жаргон, от названия наименьшей карты из колоды 36 игральных карт, которую бьют старшие), "7" - сентябрь (от лат. septem "семь", седьмой месяц десятимесячного древнеримского календаря), "8" - октябрь (от лат. octo "восемь"), "9" - ноябрь (от лат. novem "девять"), "10" - декабрь (от лат. decem "десять") и др. При такого рода проекциях количественный смысл словобразую- щего числа со временем может быть утрачен на радость филологам и тем, кто во всем находит присутствие извне. А за словами "монада", "диада" и "триада" стоят целые философские миры.

В истории есть примеры, когда через число устанавливается некая искусственная связь между разными множествами объектов, у которых общим является лишь одинаковое количество элементов. При этом реализуется следующая логическая схема: так как {*...*} -> "n" и {v...v} -> "n", то {*...*} <-> {v...v}. Так, в древности знали планеты Меркурий ("водяная планета"), Венера ("металлическая планета"), Марс ("огненная планета"), Юпитер ("деревянная планета"), Сатурн ("земляная планета"), а также планетами называли Солнце и Луну - всего семь небесных тел, движущихся вокруг Земли. Поскольку дней недели тоже семь, то осуществилась проекция названий планет на дни недели. В Китае и Японии смысл наименований дней недели следующий: воскресенье - "день Солнца", понедельник - "день Луны", вторник

стр. 41

- "день огня" (день Марса), среда - "день воды" (день Меркурия), четверг - "день дерева" (день Юпитера), пятница - "день металла" (день Венеры), суббота - "день почвы" (день Сатурна). С другой стороны, сами китайские названия планет, вероятно, явились проекцией пяти древнекитайских движущих начал (стихий) - дерево, огонь, земля, металл, вода, - согласно цвету планет, видимому с Земли.

Сегодня известно, что планет Солнечной системы девять (планета Уран открыта в 1781 г., Нептун - в 1846 г., а Плутон - в 1930 г.), и что все химические элементы состоят из трех частиц: протонов, нейтронов и электронов. Решения уравнений Ньютона позволяют с высокой точностью предсказывать местоположение планет Солнечной системы, вознеся почти буквально до небес лапласовский детерминизм. Химические элементы уместились в таблице Менделеева на стенах школьных кабинетов химии. Поэзия и магия древних веков уносятся потоком времени вместе с чарами буддисткой свастики и звезды Давида, оставляя нам на десерт туманные пророчества Нострадамуса и слабую надежду на сомнительную связь между созвездиями Зодиака и нашей судьбой.

* * *

Возможно, нет среди созданий человеческого ума ничего более чистого и непорочного, чем числа. Но человеческой фантазии требовались потусторонние силы, чтобы они творили чудеса, и числа стали рабами служителей культов, угодив на страницы религиозных и оккультных книг. Со временем ветхие заветы сменили новые технологии. Числа загнали в регистры компьютерной памяти и каналы передачи данных, чтобы они создавали виртуальный мир мультимедийных грез. Но может быть это не мы их, а они нас завели в паутину глобальной компьютерной сети Интернет - логово ненасытного информационного паука?

Вероятно, проблема не в числах, а в странностях их создателей, хранящих в своих арсеналах культурных ценностей мумии изживших себя идей. И если мы не можем отказаться от взращенной веками генетической потребности в чуде, то и числам придется оставаться нашими вынужденными спутниками в блужданиях по обратной стороне человеческого разума.

Постоянный адрес данной публикации: