Методическое пособие Б. Я. Пахомова "Возникновение и развитие аксиоматического метода в математике" освещает важный раздел предусмотренного стандартом вузовского образования курса "История научной методологии" и обобщает опыт чтения автором лекций по этому курсу на протяжении ряда лет выпускникам Московского инженерно-физического института.

Аксиоматический метод - это, как известно, способ такого построения научной теории, когда все ее утверждения логически выводятся (доказываются) из ограниченного числа исходных без доказательства принятых положений - аксиом и постулатов - и ранее доказанных теорем, если таковые уже имеются. Важно подчеркнуть, что аксиоматическое построение существующих научных теорий позволяет выявить лежащие в их основе, но в явном виде не сформулированные аксиомы и избегать произвола в принятии научных суждений в качестве истин этих теорий.

В своем развитии аксиоматический метод прошел три этапа. Первый этап связан с возникновением первой аксиоматически построенной научной теории - геометрии Евклида, второй - с возникновением неевклидовых геометрий и выяснением того, что геометрия может быть построена на разных системах аксиом, и третий - современный этап - ознаменован постановкой Д. Гильбертом задачи чисто формального аксиоматического построения всей математики и доказательством К. Гёделем принципиальной невозможности решения этой задачи. Современный этап развития

стр. 277

аксиоматического метода характеризуется острыми дискуссиями по вопросам об основах математики и о месте и роли аксиоматического метода в структуре методологических основ науки.

В методической разработке Б. Я. Пахомова наиболее подробно рассмотрены первые два этапа становления и развития аксиоматического метода, тогда как третьему этапу уделено значительно меньше внимания.

Рассматривая первый этап становления аксиоматического метода, автор вполне справедливо отводит значительное место обсуждению предпосылок возникновения аксиоматического метода. На достаточно богатом (по масштабам методического пособия) историческом материале показано, как постепенно от чисто эмпирических знаний решения ряда практически значимых задач геометрии происходит переход к поискам способов доказательства решений. Выясняются причины возникновения потребности в логических доказательствах отстаиваемых в демократических институтах Древней Греции положений, способствовавших появлению особой науки - логики, анализирующей, в частности, способы логического вывода истинных утверждений на основе уже известных истинных положений. Отмечается вывод Аристотеля о том, что доказывающая наука должна опираться на исходные, принимаемые без доказательства "начала", ибо если считать, что начала доказуемы, то попытки их доказать увели бы в бесконечность. Суть аксиоматического метода автор раскрывает, анализируя аксиомы, постулаты и способы доказательства "Начал" Евклида.

Рассмотрение первого этапа становления и развития аксиоматического метода завершается обсуждением основных требований, предъявляемых к системам аксиом, а именно требованийнепротиворечивости системы аксиом, т. е. невозможности в рамках одной системы аксиом доказать противоречащие друг другу положения типа "верно А" и "верно не-А"; полноты системы аксиом, т. е. достаточности аксиом для доказательства всего множества теорем; и независимости аксиом друг от друга или, иными словами, требования того, чтобы система аксиом не была избыточной. Анализ этих требований автор увязывает с обсуждением поставленной Д. Гильбертом задачи полной формализации математики и теоремы К. Гёделя о неполноте аксиоматических систем и принципиальной невозможности решения задачи Д. Гильберта.

Далее автор, остановившись на выяснении причин возникновения неевклидовых геометрий, фактически приступает к характеристике второго этапа становления и развития аксиоматического

стр. 278

метода и через рассмотрение связи геометрии с физикой переходит к обсуждению аксиоматических основ теории относительности и квантовой механики. В этом разделе методического пособия автор уделяет большое внимание идее единства пространства и времени и приходит к выводу, что современной физике оказалась необходимой не геометрия, а хроногеометрия, представляющая собой математическую модель объединения пространственных и временных отношений в современных физических теориях.

Последний раздел методического пособия посвящен обсуждению вопроса о природе математического знания. Здесь автор прослеживает эволюцию понимания природы математических знаний и сущности аксиом математики древнегреческими мыслителями, Р. Декартом, Г. Лейбницем, И. Кантом, логическими позитивистами и ограничивается краткими замечаниями о дискуссиях XX в. по проблемам математики. При этом показано, что первоначально аксиомы понимались как самоочевидные положения математики, либо так или иначе заимствованные из объективно-реальной действительности, либо полученные нашим сознанием от априорных форм созерцания. С открытием неевклидовых геометрий отпадает возможность рассматривать аксиомы как самоочевидные истины, и они начинают осознаваться как системы принимаемых без доказательства положений.

Автору удалось в доступной и увлекательной форме с использованием многочисленных примеров, взятых из истории науки, из работ великих ученых и философов, а также из художественных произведений, изложить серьезный научный материал, поддерживая интерес читателя на всем протяжении текста лекции. Интересу и доступности способствует также частая апелляция автора к полученным в институте знаниям слушателей. Вместе с тем работа отличается лаконичной формой подачи материала.

Следует отметить наличие в методической разработке оригинальных идей автора, таких, как, например, датировка возникновения наук по времени появления соответствующих этим наукам методов познания, предположение о том, что потребность в доказательстве высказываемых суждений, а в дальнейшем и в доказательной науке впервые возникла именно в Древней Греции в связи с демократической организацией древнегреческих полисов, требовавшей от граждан, выступающих на демократических форумах, необходимости доказывать и отстаивать свои суждения.

Вполне естественно, что материал, охватывающий столь обширный период становления и развития аксиоматического метода

стр. 279

в математике, несколько конспективен. Было бы полезно, на наш взгляд, более подробно остановиться на дискуссиях по вопросу об основаниях математики, имевших место в XX столетии, и более четко обозначить границы эффективного использования аксиоматического метода при обосновании математики и других научных теорий.

Представляется целесообразным сопроводить методическую разработку кратким словарем основных понятий, смысл и значение которых студенты должны хорошо усвоить при подготовке к экзаменам.

Значение курса "История научной методологии" в целом и его раздела, посвященного аксиоматическому методу формирования и обоснования математики и научных теорий, трудно переоценить, поскольку при современных темпах развития науки, техники, материального производства и многих других сфер жизни и деятельности человека знания, полученные в вузе, профессиональные умения и навыки быстро устаревают и требуют своего качественного обновления. Не является здесь исключением и сфера научно-исследовательской деятельности. В этих условиях выпускники вузов должны ясно понимать методологические основы своих профессиональных знаний и обладать способностью не только легко воспринимать и быстро усваивать качественные изменения в сфере профессиональной деятельности, но и максимально способствовать этим изменениям. Если же учесть, что математика все в большей степени становится языком и инструментом не только естественных, но и гуманитарных наук, то вопросы становления и развития математических методов в структуре научной методологии обретают интерес не только для физиков и специалистов других естественных наук, но и для представителей многих гуманитарных наук. Поэтому методическая разработка Б. Я. Пахомова, несомненно, представляет интерес не только для студентов Инженерно-физического института, но и для студентов других вузов как естественнонаучного, так и гуманитарного профиля!

И. А. ХАСАНОВ, доктор философских наук, профессор ИПКгосслужбы

Publisher:

Permanent link for scientific papers (for citations):

Found source (search robot):

Publication author(s) - И. А. ХАСАНОВ:

Comments: