Libmonster is the largest world open library, repository of author's heritage and archive

Register & start to create your original collection of articles, books, research, biographies, photographs, files. It's convenient and free. Click here to register as an author. Share with the world your works!

Libmonster ID: RU-9301
Author(s) of the publication: Ш. ДОУ

Share with friends in SM

Ш. ДОУ, профессор экономического факультета университета Стирлинга (Великобритания)

За последние сто лет математика заняла важное место в экономической теории, но особенно ее роль возросла в последние годы. Если сравнить современные научные журналы с журналами пятидесятилетней давности, то становится очевидной обширная экспансия математического языка в экономических работах. Согласно Р. Бэкхаузу1 , уровень использования такого языка в статьях крупнейших экономических журналов возрос с 10% в 1930 г. до 75% в 1980 г. Это относится и к учебникам по экономической теории всех уровней сложности.

Математика, таким образом, приобретает все большее значение в изложении экономических идей, что само по себе является очень интересным фактом, особенно с точки зрения понимания и восприятия экономической теории в обществе. Понять и воспринять математически выраженные принципы могут далеко не все; то же самое можно сказать и об экономической науке. Это касается всех социальных групп: от школьников, выбирающих предмет для изучения, до политических деятелей, способных или не способных понять рекомендации экспертов.

Проведенный Г. Грубелем и Л. Боландом2 опрос ведущих экономистов показал, что они обеспокоены увеличением количества математических моделей в теоретических исследованиях и в преподавательском процессе. Но результаты опроса свидетельствовали также и о том, что потребности, возникающие внутри самой экономики как научного знания, обуславливают интенсивное использование математики в экономических работах. Возможно, математическая интерпретация экономических идей является наиболее удобным способом передачи и изложениятех или иных концепций. Однако существует и более фундаментальная проблема, которая сводится к возможному воздействию математической техники на содержание экономической теории.

Согласно одной из точек зрения, экономическая наука переживает сегодня эпоху постоянных технических изменений и нововведений; при этом используются более совершенные статистические методы, благодаря которым достигаются все более качественные результаты. Содержательные изменения в теории с этой точки зрения, несомненно,


1 Backhouse R. E. If Mathematics Is Informal, Then Perhaps We Should Accept That Economics Must Be Informal Too // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1848 - 1858.

2 Grubel H. G., Boland L. A. On the Effective Use of Mathematics in Economics // Kyklos. 1986. Vol. 39. No 3. P. 419 - 442. См. также: Mirowski P. The When, the How and the Why of Mathematical Expression in the History of Economic Analysis // Journal of Economic Perspectives. 1991. Vol. 5. No 1. P. 145 - 158; McCloskey D. N. Rhetoric and Persuasion in Economics. Brighton: Wheatsheaf, 1994. Ch. 9.

стр. 53


играют позитивную роль. Однако из-за так называемой "математизации" в экономической теории перестали рассматриваться феномены, которые не могут быть математически формализованы и которые следует описывать иными, альтернативными методами. Эта проблема является чрезвычайно важной, поскольку затрагивает вопросы о том, что мы понимаем под экономической наукой и каких результатов от нее можно ожидать. Сказанное в конечном счете относится и к общественному восприятию экономической теории.

Математические методы проникают во все сферы хозяйственной жизни. Работа на финансовых рынках (в особенности связанная с торговлей деривативами) все чаще осуществляется при помощи математических моделей. Заслуга экономистов в создании этих моделей подтверждается присуждением Нобелевской премии в области экономики Ф. Блэку и М. Шоулзу за их "злополучную" финансовую модель. В дальнейшем мы не будем заострять свое внимание на прикладной математике и ее связи с экономической жизнью, обращаясь к этим темам лишь для иллюстрации некоторых тезисов.

Математизация экономической теории: исторический аспект

Математические методы обрели особый статус в экономике в позапрошлом веке в преддверии так называемой "маржиналистской революции". В тот период интерес классической политэкономии к производству, экономическому росту и распределению материальных благ (как плодов этого роста) между общественными классами сменился интересом к рыночному обмену. Таким образом, акцент при анализе экономических явлений сместился с уровня народного хозяйства и социальных групп на уровень индивида. Одним из первых, кто стремился математически сформулировать условия успешной рыночной координации, был Л. Вальрас. Вместе с О. Курно он является основоположником систематического применения математики в экономическом анализе.

В то время считалось, что экономическая теория как научная дисциплина должна занять достойное место на одном уровне с естественными (прежде всего физическими) науками3 . Средство для достижения данной цели виделось именно в использовании математики. Подобно тому, как естественные науки строились аксиоматически на основе единиц энергии и т. п., экономическая теория строилась на основе единиц полезности. Основным мотивом индивидов, вовлеченных в процессы рыночного обмена, считалась максимизация полезности, рассматриваемая как решение математической задачи. Вальрас утверждал, что только с помощью математики можно понять сущность экономических явлений. В целом, как нам представляется, под "маржиналистской революцией" следует понимать создание особой науки, в рамках которой


3 См. подробнее: Mirowski P. More Heat than Light: Economics as Social Physics. Physics as Nature's Economics. Cambridge: Cambridge University Press, 1989; Drakopoulos S. Values and Economic Theory. Aldershot: Avebury, 1991.

стр. 54


была проведена успешная математическая интерпретация предельных ("маржинальных") условий рыночного равновесия.

Маржиналисты полагали, что лишь проблемы измерения являются препятствием на пути превращения экономической теории в одну из естественных наук. Главный сторонник использования математики среди английских маржиналистов, У. С. Джевонс, с уверенностью заявлял, что "политическую экономию можно было бы постепенно возвысить до точной науки, если бы коммерческая статистика была гораздо более полной и достоверной, нежели сегодня, дабы можно было при помощи числовых данных придать формулам исчерпывающее значение"4 .

Как измерять полезность? Принципиальная возможность такого измерения оставалась предметом споров. Поэтому в силу очевидных трудностей прикладного характера математическое направление в экономической науке, в отличие от естественных наук, развивалось более успешно на теоретическом, нежели на эмпирическом уровне.

Подобное развитие неизбежно вызывало ответную отрицательную реакцию. Представители Исторической школы в Германии заявляли, что теорию следует выстраивать при помощи индукции, то есть на основе эмпирических закономерностей, а не дедуктивно5 . Поэтому особое внимание уделялось сбору данных, а не теории, будь она математической или какой-либо другой. Теоретики Австрийской школы во главе с К. Менгером выбрали дедуктивный подход, но осознанно избегали математики. В своей работе они делали акцент на динамике экономических процессов, в частности на деятельности предпринимателей, и не рассматривали подробно проблемы рыночного равновесия.

Они считали, что математика не может помочь в подобном анализе, поскольку люди - существа творческие, и их целесообразное поведение нельзя описать в детерминированных категориях. Кроме того, из-за присущего австрийцам субъективизма они полагали, что объективные числовые данные не способны адекватно отразить индивидуальные мотивы, побуждающие к действию. К этой важной мысли о соотношении математики и содержательного экономического анализа мы вернемся позже.

В ту эпоху в Великобритании ведущим исследователем, работы которого оказали влияние на последующее развитие экономической теории, был А. Маршалл. К его основным заслугам следует отнести содействие более широкому распространению экономических знаний и разработку экономической теории как целостной общественной науки. В этом смысле Маршалл стоял "над схваткой" и не участвовал в дебатах между сторонниками "чистой" математики, приверженцами нематематических "чистых" теорий и эмпириками. Очень важно, что в "Принципах экономической науки" математические рассуждения присутствовали только в сносках и приложениях, а аргументация в тексте была изложена исключительно в вербальной форме. Поэтому считается, что Маршалл видел ограниченность математических методов и моделей в экономической науке, и хотя он чаще, чем представители


4 Jevons W. S. The Theory of Political Economy. London: Macmillan, 1871. P. 25.

5 Следует отметить, что массовый интерес к сбору эмпирических данных в США возник именно благодаря работам теоретиков Исторической школы.

стр. 55


Австрийской школы, выстраивал математические теории, но в своем исследовании, подобно австрийцам, делал основной акцент на динамике экономических процессов, а не на равновесии. Кроме того, дедуктивные рассуждения и использование математических понятий он ограничил краткими логическими цепочками, то есть частичным анализом (в этом суть концепции "частичного равновесия" в противоположность теории общего равновесия). В отличие от Вальраса, он не пытался построить завершенную математическую систему.

Дж. М. Кейнс, как и А. Маршалл, по образованию был математиком, но воспринимал математические методы в экономической теории с оговорками, используя их лишь в ограниченной степени. Он говорил, что возможности постичь с их помощью содержательные экономические проблемы весьма скромны, а потому скромным должно быть и их применение в практической работе.

Одним из основных теоретических достижений Кейнса было создание новых исследовательских направлений, открывшее еще одну страницу в истории применения математических методов на практике. Кейнс стоял у истоков современной макроэкономики и разрабатывал политическую стратегию для правительства, в рамках которой теория должна была проверяться и применяться практически. На основе его теоретических конструкций были построены тщательно продуманные математические модели экономической системы, усовершенствованные благодаря достижениям в сфере компьютерных технологий и наличию необходимой эмпирической информации.

По поводу значимости этих агрегированных моделей разразились методологические споры. В частности, М. Фридмен выдвинул дискуссионное положение о том, что единственным критерием при выборе теории должна стать точность получаемых с ее помощью прогнозов6 . Теоретик, по его словам, не должен стараться что-либо объяснить, то есть не следует думать, что теории описывают причинно-следственные механизмы. Форма и масштаб математической репрезентации в экономической теории объявлялись вторичными по отношению к ее предсказательной способности (хотя предполагалось, что прогноз должен основываться на математических моделях определенного типа).

Следует отметить, что на том этапе развития экономико-математического моделирования очень многое в нем было позаимствовано из физики7 , что очевидно в свете дальнейшего развития экономики, в ходе которого усилия ученых сосредоточились на разработке и использовании принципов формальных аксиоматических систем. Макроэкономика представляла собой математически выстроенную совокупность положений, весьма далекую от микроэкономики. Поэтому достижения макроэкономической теории за последние три десятилетия в конечном счете можно рассматривать как попытки интеграции, построения всеобъемлющей системы общего равновесия на основе микроэкономических аксиом поведения потребителей.


6 Фридмен М. Методология позитивной экономической науки // THESIS. 1994. N 4. С. 20 - 52.

7 См.: McCloskey D. N. Rhetoric and Persuasion in Economics. Ch. 1.

стр. 56


Итак, мы видим, что современная экономическая наука в значительной степени подвержена влиянию математических методов. Однако ситуация здесь сложнее. Дело в том, что наличие проблем измерения и более фундаментальных методологических проблем повлекло за собой разделение на "чистую" и прикладную теорию8 . В рамках первой традиционно проводится сложный и изощренный математический анализ индивидуального поведения на основе принципов максимизации полезности, причем особое внимание уделяется доказательствам теорем существования. Важно отметить, что все больше ученых, работающих в области "чистой" теории, исследуют модификации традиционных аксиом рациональности при изучении индивидуального поведения: в рамках теории игр анализируется взаимозависимость действий экономических агентов, а в рамках поведенческой экономики - иные формы рациональности. В то же время прикладная наука сосредоточивается на упрощенных моделях, для которых имеются соответствующие данные. В силу различия целей теоретической и прикладной экономической науки математика, используемая в "чистой" теории, отличается от математики, используемой в статистических исследованиях. Р. Бэкхауз, в частности, пишет, что нередко теоретическая часть исследования отделяется от практической даже в рамках одной научной статьи9 .

Споры вызывают и вопросы о том, насколько проблематично это разделение на теорию и практику и можно ли преодолеть связанные с ним трудности10 . Но следует отметить, что такое разделение имеет смысл только в связи с неоклассическим мэйнстримом в традиции Вальраса. В теориях, восходящих к трудам Менгера, Маршалла и Кейнса, математические методы используются в значительно меньшем масштабе исходя из методологических соображений. Ясно, что это порождает проблемы коммуникации внутри экономической науки, ведь в мэйнстриме математика используется как более удобный способ выражения идей, и более того - как основа исследовательской программы в рамках данного научного направления.

Изложив вкратце историю математизации экономической теории, мы перейдем к методологическим проблемам, связанным с этими процессами.

Значение математики для экономической теории

Математика и формализм

Значение и функции математики в экономике необходимо рассматривать в свете проблемы формализма. Несмотря на то что термины "математическое моделирование" и "формализм" часто используются


8 См. подробнее о развитии теоретической и прикладной математики в экономической науке: Weintraub R. E. How Economics Became a Mathematical Science. Durham, NC: Duke University Press. 2002.

9 См.: Backhouse R. E. If Mathematics Is Informal, Then Perhaps We Should Accept That Economics Must Be Informal Too.

10 См.: Mayer T. Truth versus Precision in Economics. Aldershot: Edward Elgar. 1993; Backhouse R. E. Op. cit.

стр. 57


как взаимозаменяемые11 , доказательство не обязательно должно быть математическим, чтобы считаться формальным12 . Кроме того, недавно была высказана мысль о том, что в отличие от математики теоретический формализм создает более строгие условия для устойчивости значений тех или иных понятий13 . Например, некоторые исследователи продемонстрировали, что значения терминов в математике могут меняться, формализм же неразрывно связан с идеей строгости. Однако научная строгость может сама иметь различные смыслы: скажем, если в начале прошлого века под научной строгостью понималась проверка теории на эмпирических данных, то сейчас она больше связана с математическими аксиомами.

Как было отмечено выше, математический формализм в большей степени используется в теоретической, нежели в прикладной экономической науке. Но зачастую прикладные исследования также носят формальный характер: речь идет об устойчивости значений при анализе тех или иных эмпирических данных. Это позволяет говорить о "фактах" как об объективных, независимых от теории явлениях, значение которых не меняется со временем. Действительно, как пишет Ф. Мировски14 , сам акт измерения с необходимостью влечет за собой использование математических структур. Например, при использовании обычной диаграммы рынка предполагается однородность пространства товаров, которое в действительности не является таковым. Мировски утверждает, что степень этой однородности варьируется в зависимости от изменения общественного восприятия рыночных процессов. В той мере, в какой экономисты рассуждают формалистически, они практикуют общий подход к математике, основанный на логическом позитивизме и используемый как на теоретическом, так и на практическом уровне. В рамках этого подхода можно по-разному использовать математику, в зависимости от типа исследования - работаете ли вы в рамках "чистой" или прикладной науки.

К преимуществам формализма15 можно отнести, во-первых, возможность уточнить известное путем демонстрации того, что может и что не может быть доказано исходя из него. Во-вторых, использование формальных методов облегчает накопление и приращение знаний, поскольку формальные доказательства могут быть с легкостью восприняты следующими поколениями (еще раз обратим внимание на необходимость сохранения устойчивости значений терминов). Кроме того, формализм становится "мотором исследования", его движущей силой; убежденный сторонник математизации экономической теории Ж. Дебрэ так выразил эту мысль: "[Математика] постоянно требует ослабления допущений, усиления выводов, большего обобщения. При-


11 См.: Krugman P. Two Cheers for Formalism // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1829 - 1836.

12 См.: Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1859 - 1869.

13 Backhouse R. E. Op. cit.

14 Mirowski P. The When, the How and the Why of Mathematical Expression in the History of Economic Analysis.

15 См.: Backhouse R. E. Op. cit.

стр. 58


нимая математическую форму, экономическая теория будет вынуждена подчиниться этим требованиям. ...Математика требует простоты"16 .

Однако, как отмечает Бэкхауз, сам процесс математизации может изменить значение экономических понятий. Он ссылается на содержание понятия личного интереса у А. Смита, позднее вошедшего в формальную систему общего равновесия. Социальный смысл этого термина был утрачен при разработке атомистических аксиом неоклассической теории.

Еще один пример. Применение формализма в доказательствах расценивалось в работах К. Эрроу и Ф. Хана как научный прогресс17 . Но можно показать, что теория ожиданий Кейнса, основанная на неопределенности, изменила свое значение, когда ее формализовали в рамках гипотезы о рациональных ожиданиях. При такой формализации акцент Кейнса на риске, не допускающем количественного определения и измерения, был утерян. Р. Лукас тем не менее утверждал, что и это обстоятельство является достижением18 . Мы видим, что преимущества формализма, относящиеся к приумножению знаний, зависят от неизменности значения терминов.

Первое из указанных выше достоинств формализма поясняется словами Хана. Отвергая тезис Дж. Робинсон о том, что математика играет весьма скромную роль в экономической теории, Хан утверждал, что ее доводы выходят за пределы некоторой формальной структуры, - другими словами, в рамках этой структуры невозможно было бы доказать их истинность19 . Таким образом, при формализации и связанном с ней изменении и искажении значений (как в случае личного интереса у Смита или ожиданий у Кейнса) понятия утрачивают нечто важное, что, как считает Хан, не может быть выражено в понятных ему категориях.

Критики математизации исходили из особого понимания предмета экономической теории. С точки зрения методологии их взгляды существенным образом отклоняются от общего направления экономической мысли, в котором математизация является руководящим принципом на пути к построению экономики как науки. Можно ли анализировать предмет естественных наук методами, предлагаемыми в рамках логического позитивизма, - это отдельный вопрос. Однако очевидно, что в случае социальной науки, изучающей людей, которые являются творческими, целеустремленными и общественно активными существами, живущими в постоянно меняющейся институциональной среде, проблема становится еще более острой. Насколько человеческое поведение может соответствовать (пусть и в стохастических терминах) детерминированным принципам? И хотя наиболее сложной эта проблема становится тогда, когда формальные экономические рассуждения


16 Цит. по: Backhouse R. E. Op. cit. P. 1852.

17 Arrow K. J., Hahn F. H. General Competitive Analysis. Edinburgh: Oliver & Boyd, 1971.

18 Lucas R. E. Jr. Methods and Problems in Business Cycle Theory // Journal of Money, Credit and Banking. 1980. No 12. P. 696 - 715.

19 Hahn F. H. Robinson-Hahn Love-Hate Relationship: An Interview // Feiwel G. R. (ed.) Joan Robinson and Modern Economic Theory. L.: Macmillan, 1989.

стр. 59


касаются глубоко личных вопросов, таких, как, например, семейная жизнь человека20 , она актуальна и в случае любой человеческой деятельности, имеющей экономическое содержание.

Рассуждая в духе работ Кейнса, В. Чик утверждает, что реальная экономика - это открытая и органическая система и ее нельзя адекватно исследовать, используя средства, предназначенные для изучения закрытых, формально описанных систем21 . Кроме того, если исходить из математических принципов теории общего равновесия, то исследуемая система с необходимостью будет закрытой, а связи между предметами анализа окажутся детерминированными, то есть эти принципы влекут за собой атомизм22 .

Если формализм в смысле строгости, точности и четкости рассуждений является неотъемлемой частью науки, то формализм в смысле математического выражения этих рассуждений таковой не является. Одним из достоинств математики является точность. Однако Кейнс вслед за Маршаллом отметил также положительные свойства "расплывчатости": "Как мне кажется, современная экономическая теория сильно страдает оттого, что она пытается применить весьма точные, математические методы к материалу, который слишком расплывчат для такого с ним обращения"23 .

В пользу правоты этих слов свидетельствует судьба теории Блэка и Шоулза. В математических моделях риска на финансовых рынках предполагается, что все риски измеряемы. Но финансовый кризис, из-за которого система Блэка и Шоулза оказалась несостоятельной, не поддавался анализу в терминах плотностей распределения вероятностей (при этом он не был и абсолютно случаен), таким образом выходя за рамки их модели.

При обсуждении формализма следует обратить внимание на общие вопросы о том, насколько в исследовании функционирования экономики допустимы формальные методы, использование которых позволительно при изучении закрытых, "атомарных" систем, и о том, как следует анализировать те аспекты экономической деятельности, которые нельзя описать в терминах таких систем.

Настроенные формалистически представители "чистой" теории не считают первый из этих вопросов проблематичным, а значит, не считают таковым и второй. Движущая сила их исследований - непрерывная математизация. Они могут даже со всей откровенностью допустить отсутствие связи их построений с реальным миром24 . Но для "практикующих" формалистов (особенно в случае применения теории к анализу рыночных процессов, например, в работах Блэка и


20 См.: Becker G. A Treatise on the Family. Cambridge, MA: Harvard University Press, 1991.

21 Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics.

22 Набор условий для характеристики открытых и закрытых систем определен в работе: Chick V., Dow S. C. The Meaning of Open Systems // Journal of Economic Methodology. 2005. Vol. 12. No 3. P. 363 - 382.

23 Цит. по: Chick V. Op. cit. P. 1864.

24 См., например: Hahn F. H. On the Notion of Equilibrium in Economics. Cambridge: Cambridge University Press, 1973.

стр. 60


Шоулза) поставленные нами вопросы весьма актуальны. Постоянно делаются попытки увеличить степень реалистичности моделей в тех рамках, которые задаются формальным анализом. На деле формальное исследование внутри "официального дискурса" дополняется неформальными методами при "неофициальном дискурсе", остающемся непризнанным в силу своего несоответствия принципам, которые разделяет большинство ученых25 . Ограниченность формализма удачнее всего показана экономистами, его отвергающими, применение же иных методов исследования обосновывается ими с точки зрения природы изучаемого объекта.

Критики математического формализма исследуют возможности использования иных методов при изучении экономических систем. Поскольку в этом контексте методологическое исследование должно начинаться с логических аспектов теории, мы перейдем к рассмотрению данного вопроса в свете различных подходов к логике.

Математика и логика

Известный исследователь творчества Кейнса Р. О'Доннелл показал, что Кейнс в своих взглядах на роль математики в экономической теории исходил из созданной им концепции логики. О'Доннелл, в частности, пишет: "Основополагающим для философии Кейнса является неизменно присутствующее во всех его работах положение о том, что качественный, логический анализпредшествует количественному, или математическому, анализу и определяет степень и масштабы его применения. Если этот принцип переделать в лозунг, он будет выглядеть так: "Сначала логика, затем, если необходимо, математика". Логика в философии Кейнса в конечном счете основана на использовании непосредственного суждения или интуиции"26 .

В первой крупной работе Кейнса "Трактат о вероятности"27 обсуждаются проблемы индуктивного метода. Кейнс критиковал проект Рассела и Уайтхеда по построению математической логики на рационалистической основе. Его интересовало то, каким образом и на каком основании человек может с уверенностью утверждать, произойдет то или иное событие или нет. При этом рассуждения строились на весьма общем уровне, то есть предполагалось, что условия, гарантирующие полную определенность рассматриваемой ситуации, отсутствуют. Определенность для Кейнса была особым, частным случаем, возможным только в рамках закрытой атомарной структуры (в математике или в реальности), то есть таким случаем, при котором допустимо применение классической логики.

Следовательно, по Кейнсу, для успешного применения математики на основе классической логики каждый раз требуется обоснование


25 См.: McCloskey D. N. The Rhetoric of Economics // Journal of Economic Literature. 1983. Vol. 21. No 2. P. 481 - 517.

26 O'Donnell R. M. Keynes's Philosophy, Economics and Politics. L.: Macmillan, 1989. P. 35.

27 Keynes J. M. A Treatise on Probability. Collected Writings. Vol. VIII. L.: Macmillan, for the Royal Economic Society. 1973.

стр. 61


с точки зрения степени соответствия того или иного случая закрытой, атомарной структуре. Кейнс считал правильным использование математической терминологии в качестве вспомогательного средства для размышлений, но утверждал, что на экономисте лежит бремя доказательства необходимости ее применения и соответствия таких методов предмету исследования28 .

В контексте логических оснований использования математики важно упомянуть и об аксиоматическом методе. Аксиоматизация - это разновидность формализма, основанная на классической логике и характерная для формалистического подхода к построению "чистой" экономической теории. Соответствие между теорией и реальностью появляется только на уровне аксиом и теорем, выведенных из аксиом в результате применения дедуктивной логики. Среди экономистов было немало споров о реалистичности аксиом29 ; в этой связи интересно также рассмотреть логическую структуру, находящуюся "между" аксиомами и их проверкой. Кейнс утверждал, что перед лицом фундаментальной неопределенности нам приходится пользоваться обычной или "человеческой" логикой30 . Такая логика, в отличие от классической, не является наглядной. Она включает в себя построение доказательств и накопление косвенного, неявного знания. Но поскольку этого, вообще говоря, недостаточно, чтобы обосновать конкретные действия, мы дополняем логическое знание конвенциями, интуицией или воображением31 .

Это означает, что методология экономической науки опирается на самые разные средства познания, причем некоторые из них не связаны с математикой. Если бы все методы были математическими и были бы построены на основе классической логики, то они оказались бы сопоставимы и смогли бы стать частью единой математической системы. Но методы в целом несоизмеримы и несопоставимы, а для того чтобы сконструировать некоторую "рабочую" модель, необходимо прибегнуть к помощи вербальных рассуждений.

Кейнс довольно точно определил опасные моменты, связанные с математизацией экономической теории: "Серьезный недостаток символических, псевдоматематических методов формализации анализа экономических систем, - писал он, - состоит в том, что они в явном виде предполагают строгую независимость между используемыми факторами ...; в то время как в обычных рассуждениях ...мы можем "подразумевать" наличие необходимых ресурсов и знаний .. .мы не способны


28 Подробнее см.: Dow S. C. The Appeal of Neo-classical Economics // Cambridge Journal of Economics. 1995. Vol. 6. No 19. P. 715 - 735; Dow S. C. Keynes, the Post Keynesians and Methodology // Dow S. C., Hillard J. (eds.) Post Keynesian Econometrics, Microeconomics and the Theory of the Firm: Beyond Keynes. Vol. I. Cheltenham: Edward Elgar, 2002.

29 См., например: Hausman D. The Inexact and Separate Science of Economics. Cambridge: Cambridge University Press, 1992. О проблемах эмпирической проверки аксиом будет сказано ниже.

30 По всей видимости, есть нечто общее между этой "человеческой" и интуитивной логикой (См.: Tennant N. Anti-realism and Logic: Truth as Eternal. Oxford: Clarendon, 1987).

31 Во взглядах Кейнса можно увидеть много общего с идеями Д. Юма.

стр. 62


"подразумевать" сложные частные производные, написанные несколькими страницами ранее в ходе наших алгебраических выкладок"32 .

В качестве альтернативы в этой ситуации остаются возможности для исследования математических методов, не основанных на классической логике. Так, исследования в области нечеткой математики касаются некоторых вопросов теории открытых систем. Математические построения в теории хаоса на протяжении некоторого времени привлекали к себе внимание, поскольку допускали формальный анализ поведения неравновесных систем. Но эта теория оказалась несостоятельной с прикладной точки зрения, поскольку предлагала лишь "хаотическую" альтернативу стабильности. Более перспективными для экономической теории могли бы стать математические методы, используемые при анализе самоорганизующихся систем в химии33 , поскольку они адекватно отражают то, каким образом социальные системы приспосабливаются к возникающей внутри них частичной нестабильности34 .

Применимы в социальных науках и другие математические теории, построенные без использования классической логики. Но поскольку подобные рассуждения касаются прежде всего математики открытых систем, мы никогда не сможем окончательно разрешить возникающие в этой связи экономико-методологические трудности. Если предмет изучения экономической теории постоянно развивается, если человеку свойственно творческое целеполагание, то неопределенность будет неизбежна, причем как в работе экономиста, так и в деятельности экономических агентов.

Мнения по этому вопросу разделились. Если, например, Ф. Андерсон и другие ученые отстаивают необходимость использования математических методов в исследовании сложных систем35 , то В. Чик отмечает, что "в сложной системе результаты, полученные путем детального изучения определенных ее аспектов, не могут распространяться на весь предмет исследования ... Чем сложнее система, тем меньше мы знаем о всех происходящих в ней процессах. Ни действия агентов внутри системы, ни изучение ее извне не могут основываться на полной информации. Совершенное знание недостижимо"36 .

Итак, основным предметом данной дискуссии являются теория и используемая в ней логика. Но дебаты о роли математических методов в экономической науке часто касаются проверки адекватности экономических положений. Речь идет о построении и использовании эконометрики. Рассмотрим в этой связи некоторые проблемы, относящиеся к эконометрическим подходам.


32 Цит. по: Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics. P. 1864.

33 См.: Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой. М.: УРСС, 2003.

34 См.: Chick V. Order out of Chaos in Economics? Some Lessons from the Philosophy of Science // Dow S. C., Hillard J. (eds.) Keynes, Knowledge and Uncertainty. Aldershot: Edward Elgar, 1995.

35 Anderson P. W., Arrow K. J., Pines D. The Economy as an Evolving Complex System. Redwood City, CA: Addison-Wesley, 1988.

36 Chick V. On Knowing One's Place: the Role of Formalism in Economics. P. 1863.

стр. 63


Математика и эконометрика

Эконометрикой называется набор статистических методов тестирования экономических теорий. Кроме того, она все чаще служит средством (наглядного) представления научных "фактов".

Мы уже говорили о трудностях, с которыми сталкиваются теоретики при выявлении эмпирических аналогов для таких понятий, как полезность. Множество исследователей уходили от данной проблемы; в этом заключалось предлагаемое ими решение. Одним из примеров такого "решения" служит теория спроса. Несмотря на то что невозможно было непосредственно проверить правильность изощренных математических рассуждений, основанных на отрицательной зависимости между ценой и объемом спроса, свидетельства в пользу подобной зависимости рассматривались как справедливое, хотя и не допускающее количественного определения обоснование этих рассуждений (в таком ключе выстроена теория выявленных предпочтений Самуэльсона).

Равным образом, при тестировании макроэкономических взаимосвязей предполагались существование и единственность общего равновесия, а тот факт, который невозможно было протестировать непосредственно, - наблюдаемую относительную стабильность различных экономических систем, - принимали в качестве обоснования самой концепции равновесия.

Некоторые эконометрические модели были скрупулезно разработаны и тщательно продуманы. Они включали сотни уравнений, отражавших взаимосвязи между различными секторами экономики. В таких моделях и поныне используются только идентифицируемые и измеримые переменные. Эти "большие" системы уравнений уже устарели (что особенно заметно в свете их низкой прогностической способности), уступив место более частным моделям, узким по тематике. Тестирование уравнений на сегодняшний день представляет собой оценку зависимостей, представленных в более или менее редуцированной форме. Как было отмечено выше, предполагается, что исследуемая структура отношений стабильна на протяжении периода оценивания.

Кейнс утверждал, что и эконометристы должны обосновать применение математико-статистических методов с точки зрения особенностей предмета исследования. Он говорил, что поскольку экономическая структура в целом находится в постоянном развитии, эконометрические модели, вообще говоря, неприменимы37 . Его логика была основана на том, что при анализе социальных систем невозможно вычислить те или иные вероятности, а потому вероятность следует изучать в более общей и более адекватной форме.

В действительности эконометрика не является полностью формальной наукой, хотя были попытки формализовать процесс тестирования38 . Дело в том, что при отборе данных и проверяемых соотношений ученые, использующие эконометрику, опираются на множество


37 Этот тезис сейчас наиболее убедительно отстаивает Т. Лоусон (см.: Lawson T. Economics and Reality. L.: Routledge, 1997).

38 См.: Backhouse R. E. Op. cit.

стр. 64


дополнительных рассуждений39 . Тем не менее формальным результатам эконометрического анализа придается огромное значение, а неформальные исходные данные остаются вне поля зрения.

Целью прикладных экономических исследований, как известно, является получение выводов, на основе которых могла бы формулироваться стратегия экономической политики. До тех пор, пока при использовании математических средств "за кадром" остаются любые идеи, которые нельзя выразить математически, применение таких моделей при выборе политики вряд ли окажется плодотворным. Конечно, все теории должны от чего-то абстрагироваться, но является ли тот тип абстракции, который необходим при работе с математическими понятиями, наиболее корректным? Это сложный и противоречивый вопрос, вызывавший множество споров. Многое зависит от того, рассматриваются ли выводы, полученные из математической модели и ее эмпирической оценки, как окончательные или только как частные результаты, которые следует рассматривать вместе с другими видами знания, полученными при помощи иных методов.

Математика и общественное восприятие экономической теории

Политические деятели

Математическое обоснование экономической политики было наиболее распространено в эпоху расцвета макроэкономических эконометрических моделей. Некоторое время назад правительство Великобритании консультировалось по вопросам экономической политики с "семью мудрецами", большая часть которых опиралась на ту или иную макроэконометрическую модель. "Прогнозная сила" каждой из моделей обсуждалась публично. Скажем, управление денежной массой находится на сегодняшний день в ведении Независимого комитета по кредитно-денежной политике Банка Англии; протоколы его ежемесячных совещаний публикуются. Вклад сотрудников банка в создание основ для математических моделей, как говорится в ежеквартальном банковском бюллетене, весьма значителен. В 1999 году Банк издал книгу, в которой описаны природа математических моделей и особенности их использования40 .

Возможно, наиболее важным аспектом восприятия экономической теории политическими деятелями является понимание природы экономико-математических моделей и их общей прогнозной силы. Если считать, что при прочих равных условиях экономическая структура общества за период оценивания той или иной модели не изменилась и никаких экзогенных шоков не наблюдалось, то можно подумать, что математические модели научны и являются наилучшей основой для построения прогнозов. Такие модели имеют много общего с ри-


39 Подробнее см.: Hendry D. F. Econometrics: Alchemy or Science? 2nd Edition. Oxford: Oxford University Press, 2001.

40 Economic Models at the Bank of England / Bank of England. L., 1999.

стр. 65


торикой и отвечают стремлениям уравнять в правах экономическую теорию и естественные науки.

"Крупные" модели со множеством уравнений, которые разрабатывались в 1980-х годах, прогнозировали плохо. Даже несмотря на то, что они не были сложными с формальной точки зрения (в смысле допущения сложных, разветвленных взаимодействий между агентами), масштабность построений делала эти модели громоздкими. Уитли объясняет, почему Банк Англии уделяет особое внимание созданию многочисленных конкретных, частных моделей41 . Политика банка основана на прогнозе инфляции, в котором объединяются предсказания, сделанные на основе различных моделей.

Такая структура, как банк, собирает информацию, значительная часть которой остается "туманной": состояние рынков, склонность к инновациям, настроения профсоюзных организаций в государственном секторе и т. д. Однако эти аспекты являются ключевыми для любого прогноза инфляции. Например, данные исследований и опросов, проводимых региональными агентами банка, учитываются при принятии решений Комитетом по кредитно-денежной политике наравне с формальным прогнозированием и используются для проверки состоятельности теоретических прогнозов. Таким образом, если в прогнозе инфляции в форме "официальной риторики" соответствующие вероятности выражаются количественно, то в рамках "неофициальной риторики" объединяются те элементы оценок, которые недоступны количественному определению, но неизбежны в связи с особенностью предмета исследования.

Восприятие экономической теории обществом в целом

Неудивительно, что общество по-разному воспринимает экономическую науку. Кто-то считает, что она объективна, а кто-то полагает, что ей недостает точности. Существует множество избитых анекдотов на эту тему. Поскольку официальная риторика подразумевает определенную степень "научности", которая на практике оказывается недостижимой, экономическая теория не оправдывает ожиданий. Экономисты считают, что их неправильно поняли, ссылаясь на то, что экономическая система слишком сложна, чтобы делать идеально точные прогнозы ее функционирования; различия во мнениях неизбежны. Однако общество хочет, чтобы экономисты пришли к единой точке зрения по поводу декларируемых от лица науки выводов, подобно тому, как это сделали физики. Нам представляется, что растущее непонимание экономической теории со стороны общества напрямую связано с ее усиленной математизацией.

Несколько иной точки зрения по этому вопросу придерживается в своей важной статье известный экономист П. Кругман42 . Он утверждает, что формализация доказательств, например в рамках бух-


41 Whitley J. Economic Models and Policy-Making // Bank of England Quarterly Bulletin. 1997. Vol. 37. No 2. P. 163 - 171.

42 Krugman P. Two Cheers for Formalism // Economic Journal. 1998. Vol. 108. No 451. P. 1829 - 1836.

стр. 66


галтерского дела, дает полезные результаты, которые, по-видимому, не являются понятными на интуитивном уровне и недоступны для обывателя. На самом деле, по его словам, экономика только выигрывает от помощи со стороны математики. Но и он говорит о том, что экономисты должны уделять больше внимания "переводу" результатов своих математизированных теорий на простой язык с целью более понятного объяснения их обществу.

Экономико-математические методы в студенческой среде

Особенно интересной социальной группой в плане восприятия экономических идей являются нынешние и будущие студенты-экономисты. В США были проведены масштабные исследования, сосредоточенные на преподавании экономической теории и касающиеся роли математики. Изучение образовательных программ как для студентов, так и для аспирантов, показало, что математизация экономической науки - вполне осознанный процесс43 . Исследователи отмечают, что уровень знаний математики у начинающих студентов не соответствует требованиям, предъявляемым при изучении экономической теории. Говорится и о недовольстве студентов тем, что они занимаются формальными методами в ущерб анализу действительности, а также о беспокойстве сотрудников высших учебных заведений по поводу того, что студентам даются слишком узкие знания для будущей профессии.

В Великобритании вопрос о настроениях студентов-экономистов начали изучать относительно недавно. В 1999 г. в бюллетене Королевского экономического общества были приведены результаты исследования поведения отличников. Согласно результатам этого исследования, школьники с математическими способностями чаще выбирают в качестве предмета изучения в университете экономику, чем гуманитарные науки, однако не чаще, чем естественные науки. Но в целом эта проблематика изучалась недостаточно активно. В Великобритании, в отличие от США, содержание курса и методика преподавания контролируются, но не являются в полной мере прозрачными. Например, Совет по экономическим и социальным исследованиям контролирует материальное обеспечение выпускников и может влиять на качество образовательных программ, присуждая студентам награды. В университетах существует система контроля, благодаря которой можно следить за тем, как и что преподается на занятиях по экономической теории. Но пока на эту тему не было публичной полемики.


43 См.: Colander D. C., Klamer A. The Making of an Economist // Journal of Economic Perspectives. 1987. Vol. 1. No 2. P. 95 - 113; Krueger A. O. et al. Report of the Commission on Graduate Education in Economics // Journal of Economic Literature. 1991. Vol. 29. No 3. P. 1035 - 1053; Hansen W. L. The Education and Training of Economics Doctorates // Journal of Economic Literature. 1991. Vol. 29. No 1. P. 1054 - 1087; Kasper H. et al. The Education of Economists: From Undergraduate to Graduate Study // Journal of Economic Literature. 1991. Vol. 29. No 3. P. 1088 - 1109.

стр. 67


Примеры использования математики в экономической теории

Для иллюстрации того, как применяются математические методы в экономической теории и какие содержательные результаты формулируются с их помощью, мы приведем здесь несколько примеров и укажем на возникающие в ходе таких исследований проблемы.

Образование и экономический рост

Традиционная неоклассическая теория экономического роста строится на "микрооснованиях", полученных из аксиом оптимального поведения индивидов и фирм. В рамках этой теории в редуцированной форме строятся математические соотношения между производственными факторами - трудом и капиталом - и агрегированным показателем дохода. При заданном темпе роста населения (и, соответственно, предложения труда), а также при заданном технологическом уровне производства повышение темпа роста дохода может произойти только благодаря увеличению запасов капитала. Эта теория подвергалась эмпирической проверке, в ходе которой оценивались коэффициенты, характеризующие указанные соотношения, и проверялось их соответствие реальным показателям экономического роста.

Исследователи обнаружили, что состояние технологии является существенным параметром с эмпирической точки зрения (то есть труд и капитал не объясняют в полной мере наличие тех или иных темпов роста). Оказалось, что особое внимание при этом следует уделять технологическому прогрессу, который раньше рассматривался как экзогенный фактор по отношению к закрытой, формальной экономико-математической модели. Другими словами, в силу требований математической "выразимости" и удобства формального рассмотрения те стороны экономической системы, которые было трудно выразить количественно, измерить и представить в детерминированной форме, исключались из анализа.

С недавних пор акцент в теории роста сместился от попыток эндогенизировать технический прогресс в целом (то есть без учета капитала и труда как производственных факторов) к анализу других важных показателей, таких, как производительность труда. Эту традицию следовало бы назвать "постнеоклассической" теорией эндогенного роста, которой, в частности, придерживался министр финансов Великобритании Г. Браун44 . Важность экономической политики, проводимой на основе этой теории, заключается в том, что хотя технологический прогресс в долгосрочной перспективе доступен для всех государств45 , производительность труда зависит от качества экономической политики, поэтому показатели роста в разных экономиках будут отличаться.


44 Обзор литературы см. в: Aghion P., Howitt P. Endogenous Growth Theory. Cambridge, MA: MIT Press, 1998.

45 Это означало бы, в частности, что в ходе глобализации технологических инноваций показатели экономического роста во всех странах "сойдутся" - произойдет так называемая конвергенция.

стр. 68


Таким образом, оценка относительных преимуществ двух подходов опирается на эмпирические сведения о том, сходятся ли показатели роста в разных странах или нет. Тот факт, что ученые не пришли к согласию по этому вопросу, доказывает наличие внутренних сложностей, присущих эмпирическому тестированию в экономике.

Согласно подходу теории эндогенного экономического роста, производительность труда может увеличиваться благодаря "обучению во время работы" (learning-by-doing), которое выступает как побочный результат занятости, или благодаря обучению вне работы. Было создано несколько математических моделей, которые можно объединить вокруг идеи о том, что образование дает единократный импульс к увеличению производительности труда и повышению темпа экономического роста, или идеи о том, что оно увеличивает способности к усвоению и применению технологических новаций в производственном процессе. Целью этих моделей является определение оптимального уровня издержек на образование для достижения максимального показателя темпов экономического роста.

В рамках данной теории приходится вводить определенные предпосылки. Так, например, в модели Лукаса образование трактуется как индивидуальное решение об инвестировании46 . Время, потраченное на образование, - это время, в течение которого человек не работает (согласно принципу: расходы на накопление капитала сокращают расходы на потребление). Образование ведет к одинаковому увеличению производительности во всех отраслях. Решение человека вложить свой "капитал" в образование основано на его межвременных предпочтениях и на характерной для него степени несклонности к риску, однако в силу того, что данные показатели трудно вычислить в агрегированной форме, при практическом применении учитываются более простые переменные.

В других моделях ученые пытались увеличить степень реалистичности по сравнению с концепцией Лукаса, допуская, например, уменьшающуюся отдачу от образования, взаимодействие с факторами технологического прогресса и неравные уровни образования у разных работников, что вело к неизбежному усложнению математических моделей. Возникавшие при этом трудности измерения свидетельствовали о невозможности эмпирической оценки предлагавшихся уточнений. Ф. Агьон и П. Хауитт отмечают, что "формальной теории недостает четкости понятий. Важнейший вопрос заключается в значении параметров, а не в их измерении. Только когда теория четко определит смысл используемых понятийных категорий, мы сможем их точно измерить"47 .

Иными словами, теория должна быть формальной с самого начала. Когда значения терминов устоялись, теорию можно проверять при помощи фактов, которые могут быть оценены и измерены, поскольку у нас есть четкие определения. За пределами формальной математической модели анализ проводиться не может.


46 Lucas R. E. Jr. On the Mechanics of Economic Development // Journal of Monetary Economics. 1988. Vol. 22. No 1. P. 3 - 42.

47 Aghion P., Howitt P. Endogenous Growth Theory. P. 435.

стр. 69


Однако даже если бы значения терминов были ясными и отчетливыми, принципы измерения не стали бы понятнее и обоснованнее. Существует более общий вопрос о возможности сопоставления различных концепций при помощи эконометрических методов. В качестве альтернативы неоклассическим теориям, в основе которых лежит формальная модель, предшествующая эконометрическому анализу, предлагаются концепции эндогенного роста. Но так как в задачу эконометрики входит прежде всего применение корреляционного анализа к теоретическим соотношениям, выраженным в редуцированной форме, в которой число переменных такое же, как и в неоклассической теории, то совершенно непонятно, как здесь можно различать теоретические подходы и сопоставлять их.

Корифей неоклассики Р. Солоу утверждает, что его трактовка технического прогресса как экзогенного фактора предполагает, что этот показатель поддается анализу (его собственная модель в этом контексте решает частные, а не общие задачи) и что при изучении технического прогресса должна учитываться неопределенность, связанная с инновационным процессом, которая не выражается в количественных терминах48 . Он считает, что формулировать рабочие гипотезы на основе конкретных примеров более перспективно, нежели, следуя за теоретиками эндогенного роста, начинать свой анализ с поведения репрезентативного агента, который оптимизирует некоторую целевую функцию в соответствии со своими межвременными предпочтениями.

Теории эндогенного роста конструируются при помощи агрегированных показателей и рассматривают агрегированного "типичного" индивида (например, характеризующегося определенным значением коэффициента несклонности к риску). Выводы в этих теориях базируются на микроэкономических постулатах рационального (оптимизирующего) поведения. Рассмотрим анализ такого поведения отдельно, не связывая его с проблемами экономического роста.

Образование и доход

Микроэкономическая составляющая теории эндогенного роста включает в себя анализ индивидуальных решений о том, какой уровень образования получать49 . Этот выбор основан на оценке дохода, упущенного за период получения образования относительно его увеличения, которое принесет это образование, то есть речь идет о вычислении приведенной стоимости. Ориентиром является долгосрочное равновесие, при котором спрос и предложение на рабочую силу при каждом уровне образования уравниваются таким образом, что ни один работник не пожелает этот уровень изменить. Для каждого работника


48 Solow R. M. Perspectives in Growth Theory // Journal of Economic Perspectives. 1994. Vol. 8. No 1. P. 45 - 54.

49 См. классический источник: Mincer J. Schooling, Experience, and Earnings. NY and L.: Columbia University Press for NBER, 1974. По поводу литературы см.: Willis R. J. Wage Determinants: A Survey and Reinterpretation of Human Capital Earnings Functions // Ashenfelter O., Layard R. (eds.) Handbook of Labor Economics. Vol. 1. Amsterdam: Elsevier, 1986.

стр. 70


в равновесии приведенная стоимость образования обеспечивает такую же отдачу, как и альтернативные вложения.

Эта теория разрабатывается математически с точки зрения стандартной индивидуальной оптимизации, и хотя в эмпирических исследованиях используются другие термины, тем не менее в них развиваются многие предпосылки, изложенные в теоретической литературе. Так, например, Р. Уиллис кладет в основу своего анализа функцию дохода, в соответствии с которой доход зависит от срока образования и рабочего стажа за время жизни50 . Применение такой функциональной формы диктуется статистическими, а не теоретическими соображениями. Остаточный член соответствующей регрессии имел нулевое математическое ожидание, так что в среднем доход индивида полностью "объясняется" временем, потраченным на образование и работу. Наряду со всеми предпосылками об использовании этих двух переменных, предполагается также, что выборочные данные о населении берутся в состоянии долгосрочного равновесия. Уиллис описывает развитие этой теории как постепенное ослабление предпосылок и взаимодействие между теоретическими формулировками и статистическими оценками. Это взаимодействие носит преимущественно позитивный, а не критический характер, так как ограничения статистического анализа описываемых феноменов весьма значительны. Вывод состоит в том, что, согласно эмпирическим исследованиям, наиболее перспективен подход к изучению индивидуального выбора уровня образования с точки зрения инвестиций в человеческий капитал (такой же подход лежит в основе теории эндогенного роста).

Однако следует сделать две важные оговорки о сущности теории человеческого капитала. Во-первых, теория рационального выбора почти неприменима к исследованию неравновесных ситуаций; если все агенты действуют рациональным образом, то как ввести в анализ их возможные ошибки? Для этого приходится предполагать наличие у агентов доступной информации, при использовании которой ошибки носят случайный характер. Тот факт, что такая ситуация редко встречается на практике, заставляет серьезно задуматься о проблеме интерпретации данных.

Во-вторых, эмпирический анализ по сути своей основан на выявлении корреляционных зависимостей и, таким образом, ничего не говорит нам о причинно-следственных отношениях. В действительности результаты эмпирических исследований хорошо объясняют особенности поведения различных когорт работников. Но совсем не обязательно выстраивать теорию человеческого капитала, пользуясь абстрактными математическими моделями.

Заключение

Мы проанализировали, насколько расширилось использование математики в экономической теории, а также рассмотрели возникшие в связи с этим проблемы, которые существуют на разных уровнях -


50 Willis R. J. Op. cit. P. 529.

стр. 71


как в сфере коммуникации между экономистами, так и в области передачи и распространения экономико-математических идей в обществе. Но проблему коммуникации не решить без выработки общего взгляда на природу, предмет и границы экономической теории. Поэтому существует более фундаментальный вопрос о том, изменились ли, и каким образом изменились, методологические "параметры" нашей науки в результате математизации.

Благодаря математике в экономической теории, вне всякого сомнения, были осуществлены важные открытия. Однако из-за сложности сочетания теоретической и прикладной ее составляющих они разошлись, и каждое из направлений начало развиваться своим путем. Несмотря на это, внутри них существуют общие элементы (предпосылка о равновесном состоянии, устойчивость значений терминов и объектов измерения и т. д.), которые составляют основу для применения математики, но в то же время остаются противоречивыми. Многое сводится к вопросу о том, насколько в изучении сложных социальных структур возможно применение математических методов анализа, характерных для естественных наук.

Эти вопросы не перестают быть важными как для теоретических дискуссий, так и на политической арене, а также с точки зрения общественного восприятия экономической науки.

Перевод с английского В. Соколова

Orphus

© libmonster.ru

Permanent link to this publication:

https://libmonster.ru/m/articles/view/МАТЕМАТИКА-В-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ-ТЕОРИИ-ИСТОРИЧЕСКИЙ-И-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ-АНАЛИЗ

Similar publications: LRussia LWorld Y G


Publisher:

Elena CheremushkinaContacts and other materials (articles, photo, files etc)

Author's official page at Libmonster: https://libmonster.ru/Cheremushkina

Find other author's materials at: Libmonster (all the World)GoogleYandex

Permanent link for scientific papers (for citations):

Ш. ДОУ, МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИЧЕСКИЙ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ // Moscow: Russian Libmonster (LIBMONSTER.RU). Updated: 17.09.2015. URL: https://libmonster.ru/m/articles/view/МАТЕМАТИКА-В-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ-ТЕОРИИ-ИСТОРИЧЕСКИЙ-И-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ-АНАЛИЗ (date of access: 16.09.2019).

Publication author(s) - Ш. ДОУ:

Ш. ДОУ → other publications, search: Libmonster RussiaLibmonster WorldGoogleYandex

Comments:



Reviews of professional authors
Order by: 
Per page: 
 
  • There are no comments yet
Related topics
Publisher
Elena Cheremushkina
Актобэ, Kazakhstan
2081 views rating
17.09.2015 (1460 days ago)
0 subscribers
Rating
0 votes

Related Articles
МОСКОВСКИЕ ОХОТНИКИ ПРЕДПОЧИТАЮТ ЯСТРЕБОВ И СЕТТЕРОВ
Catalog: Лайфстайл 
4 days ago · From Россия Онлайн
НЕНУЖНАЯ НЕОБХОДИМОСТЬ
Catalog: Лайфстайл 
4 days ago · From Россия Онлайн
Российское онлайн-казино предлагает нам игры производства NetEntertaiment, Microgaiming и других менее известных разработчиков.
Catalog: Лайфстайл 
4 days ago · From Россия Онлайн
Рассматривается гравитационное поле, как энергетическая структура взаимодействия гравитирующих объектов. Предлагается расчёт гравитационных взаимодействий с точки зрения гравитационного потенциала взаимодействия частиц. Даны определения потенциала гравитационного пля. Вводится понятие ГРАДИЕНТА гравитационного потенциала взаимодействующих частиц. Вычислена энергия Вселенной, которая является постоянной величиной.
Catalog: Физика 
5 days ago · From Владимир Груздов
В событиях электорального Майдана 2019 года, приведшего к власти команду Зеленского, прямо явила себя Мать живущих Луна, устремив Украину, корабль наш, стезею Добра.
Catalog: Философия 
6 days ago · From Олег Ермаков
Симультанный синестетический образ "Музыка красоты", созданный Ириной Мирошник для синестетической музыкотерапии, объединяет комплементарные (взаимодополняющие) и скоординированные художественные образы: изобразительный — картина «Рождение Венеры» Сандро Боттичелли и музыкальный — «Музыка Первичного Океана» Ирины Мирошник. Создание симультанных (от франц. simultane — одновременный) художественных образов в синестетических композициях — это новая тенденция персоналистической культуры будущего — синестетический симультанизм. Синестетический симультанизм основывается на законах и принципах Координационной парадигмы развития (КПР), как общенаучной теории координации, альтернативной диалектике и метафизике.
Причина утраты людьми смысла древних имен. The reason of loss of the meaning of ancient names by people.
Catalog: Философия 
14 days ago · From Олег Ермаков
За последние месяцы международным общественным мнением очередной раз была выражена крайняя обеспокоенность напряженностью в споре о суверенитете в Южно-Китайском море, внезапно обострившемся после ряда внезапных и необоснованных действий Китая в районе ЮКМ
19 days ago · From Марина Тригубенко
3 июля 2019 года крупнейшее исследовательское судно Китая «Морская геология 8» в сопровождении двух тяжелых кораблей береговой охраны и целой флотилии вспомогательных судов незаконно вошла в район отмели Ты Тинь в блоке 06-01 в юго-западной части архипелага Спратли, расположенный в исключительной экономической зоне (ИЭЗ) и континентальном шельфе в Южно-Китайском море. Ряд китайских морских судов спровоцировали действия против вьетнамской береговой охраны вокруг буровой установки проекта Нам Кон Шон - проект совместного предприятия Вьетнама с Россией. Китайские морские геологи сразу начали проводить сейсмические исследования дна. Одновременно они потребовали вывода оттуда японской буровой платформы Хакури 5, которая по контракту с «Роснефтью» и «Петровьетнам» уже более месяца ведёт разведочное бурение в этом же месте.
25 days ago · From Марина Тригубенко

Libmonster, International Network:

Actual publications:

LATEST FILES FRESH UPLOADS!
 

Actual publications:

Загрузка...

Latest ARTICLES:

Latest BOOKS:

Actual publications:

Libmonster is the largest world open library, repository of author's heritage and archive

Register & start to create your original collection of articles, books, research, biographies, photographs, files. It's convenient and free. Click here to register as an author. Share with the world your works!
МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ: ИСТОРИЧЕСКИЙ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
 

Contacts
Watch out for new publications:

About · News · For Advertisers · Donate $ to Libmonster ($)

Russian Libmonster ® All rights reserved.
2014-2019, LIBMONSTER.RU is a part of Libmonster, international library network (open map)
Keeping the heritage of Russia


LIBMONSTER NETWORK ONE WORLD - ONE LIBRARY

US-Great Britain Germany China India Sweden Portugal Serbia
Russia Belarus Ukraine Kazakhstan Moldova Tajikistan Uzbekistan Estonia Russia-2 Belarus-2

Create and store your author's collection at Libmonster: articles, books, studies. Libmonster will spread your heritage all over the world (through a network of branches, partner libraries, search engines, social networks). You will be able to share a link to your profile with colleagues, students, readers and other interested parties, in order to acquaint them with your copyright heritage. After registration at your disposal - more than 100 tools for creating your own author's collection. It is free: it was, it is and always will be.

Download app for smartphones