Libmonster ID: RU-8650
Author(s) of the publication: Л. Б. СУЛТАНОВА

В последнее десятилетие в философии и методологии математики обозначилась заметная тенденция к радикальному пересмотру статуса математики как науки об абстрактных структурах и образце строгой доказательности, а также как единственной в своем роде негуманитарной дисциплины, в которой опыт и эксперимент никоим образом не могут рассматриваться как критерии истины. Предпринимаемые ранее периодические атаки математического эмпиризма, стремящегося вывести утверждения математики из опыта, в целом не наносили какого-либо заметного ущерба такому представлению о математике. Вообще представлялось, что все преходяще, но математика - это настоящая цитадель дедуктивизма (определение Лакатоса), хранительница рационализма и таковой будет пребывать вечно.

Однако медленно, но верно непреодолимые сложности формализации оснований математической теории как непременного условия, гарантирующего незыблемость обозначенного статуса математики, а также фактическое крушение философского позитивизма во второй половине XX столетия в конечном счете подорвали привычные представления о непогрешимом дедуктивизме математики, а, следовательно, и о независимости математики от каких-либо социокультурных факторов. В результате открылось широкое поле деятельности для социокультурного подхода в философии математики, который достаточно жестко связывает математическую науку с исторически изменяющимися социокультурными ориентирами общества. Это связано еще и с тем, что в математической практике обычно не делается существенного различия между формализованной математической теорией и просто строгой, но неформализованной математической теорией. Разумеется, к историко-математическим исследованиям нужно подходить реально, и нельзя игнорировать открывающиеся сложности, какими бы непреодолимыми они не казались. Тем не менее, представляется, что беспредельная абсолютизация социокультурного подхода в философии математики, в целом перспективного и интересного, в конечном счете ведет к утрате математикой статуса образца безупречной строгости и обоснованности, лишает ее уникальности и фактически "растворяет" ее в философии.

В такой ситуации представляется достаточно здравой и в какой-то мере спасительной идея о том, что "математика должна найти прочную

стр. 148


основу в той очевидности, которую дает интуиция натурального числа" 1 . Здесь явно намечен априорный статус понятия числа, который, как представляется, может быть распространен вообще на все основания математики. Это значит, что "старый, добрый" математический априоризм отнюдь не исчерпал своих ресурсов, и вполне может быть принят в качестве одного из направлений в современной философии математики. При этом, разумеется, его основные положения должны быть значительно откорректированы по сравнению с кантовскими, тем более что результаты современной философии математики, в частности, полученные Ж. Пиаже, а также базовые принципы современного структурализма реально такую корректировку допускают.

Итак, здесь мы постараемся показать, что непростая ситуация, сложившаяся в современной философии математики, и, несомненно, требующая самого серьезного анализа, допускает истолкование в духе математического априоризма, основные контуры которого мы постараемся здесь наметить. При этом мы покажем, что математический априоризм не просто не входит в антагонистическое противоречие с социокультурным подходом, но и имеет вполне обоснованный социокультурный аспект, разумеется, исключая его релятивистские тенденции в понимании статуса математического знания.

Выполнение этой задачи мы начнем с исторического экскурса к истокам формирования рационализма в философии и дедуктивизма в методологии, а, значит, с обращения к идеям основателя Новой философии - французского философа и математика XVII в. Декарта. При этом важно обратить внимание на то, что естественный с точки зрения современной философии статус образца доказательности и строгой дедуктивности математика могла реально получить лишь после того, как Декарт в своих классических философских работах "Рассуждение о методе" и "Правила для руководства ума" сформулировал основные принципы методологии современного научно-философского исследования, т. е. по сути, принципы самой строгой дедукции как неотъемлемой характеристики математической теории в ее традиционном понимании.

Эти принципы в целом можно свести к следующим основным требованиям - методологическому скептицизму, интуитивной ясности оснований, системности и строгой обоснованности на каждом шаге. Вследствие торжества именно этих принципов в математике в последующие столетия вплоть до наших дней критерием истины становится доказательность как непротиворечивость в рамках указанных декартовых принципов. Ссылка на авторитеты больше не может служить опорой для обоснования истины - таков смысл методологического скепти-


1 Мулуд Н. Современный структурализм. М., 1973. С. 57.

стр. 149


цизма Декарта. Очевидным и общепринятым в этом отношении является утверждение о том, что Декарт, таким образом, фактически произвел революционный переворот в философии и заложил основы современного научного исследования. Данная идея ныне проводится практически во всех учебниках философии, и никто ее опровергать или пересматривать не собирается.

При этом, однако, мало кто обращает внимание на то, что, возможно, не так очевидно, и не является общим местом в современной истории философии, но в свете отхода от жесткого дедуктивизма в определении современного статуса математики, и задачи, которая ставится здесь автором, представляется крайне важным - а, именно, на то, что и в математике, Декарт, по-видимому, также осуществил весьма серьезные преобразования логического характера. Дело в том, что до Декарта математика вовсе не была образцом хорошо знакомого нам строгого дедуктивизма, несмотря на "Начала" Евклида, дедуктивный статус которых, впрочем, мог распространяться только на геометрию. Общеизвестно, что до Декарта математика довольно часто применялась для обоснования идей католической теологии, что, пожалуй, наиболее ярко проявилось в трактатах Н. Кузанского. И эта докартезианская математика настолько отличалась от современной математики, что вполне правомерно ее можно рассматривать как совершенно другую математику, отличную от современной, поскольку она на деле далеко не всегда могла бы служить примером безупречного дедуктивизма, т. е. далеко не всегда отвечала декартову принципу однозначности полученных выводов. Ныне всем известны идеи Кузанского - о совпадении максимума и минимума, треугольника и окружности, и т.д. Работы Кузанского демонстрируют нам эффективность такого, можно сказать, диалектического подхода в математике при обосновании идей католической теологии, и впечатляющие возможности математики в этом, неожиданном с точки зрения современности, аспекте. Возможно, однако, принять, что это была не другая математика, а все та же, хорошо знакомая нам, но только на другой стадии эволюции, исторически предшествовавшей стадии картезианского дедуктивизма.

Таким образом, суждение о том, что математическое доказательство в додекартовой математике еще не было так жестко связано с классической в сегодняшнем понимании логикой, центральным в которой является закон исключенного третьего, и что доказательство в додекартовой математике совершенно не предполагало интуитивную ясность оснований, представляется в историко-философском плане вполне корректным. В самом деле, у Декарта, например, отмечено: "...в логике ее силлогизмы и большинство других ее правил служат больше объяснению другим того, что нам известно, или, как в искусстве Луллия, к тому, чтобы говорить без смысла о неизвестных вещах, вместо того, чтобы

стр. 150


познавать их. Правда, логика действительно содержит много очень верных и хороших правил, однако к ним приметано столько вредных и липших, что разделить их почти также трудно, как создать Диану или Минерву из куска неотесанного мрамора. ...так вместо большого числа правил, составляющих логику, я думаю, было бы достаточно четырех следующих" 2 . И далее Декарт излагает свои знаменитые правила, которые вкратце приведены здесь ранее. Важно то, на наш взгляд, что Декарт в результате формирования этих правил жестко связал математику с идеей однозначности вывода, к которой он пришел, видимо, все же не только в результате внимательного изучения "великой книги жизни", но и в результате не менее внимательного изучения тех наук, которые принято было изучать в те времена - алгебры, геометрии и логики. А если внимательно рассмотреть принципы методологии научного исследования, предложенные Декартом, то это утверждение станет почти очевидным, хотя вроде бы прямых ссылок на логику Аристотеля в работах Декарта нет. Тем не менее, важно в этом смысле обратить внимание на то, что Декарт отрицательно относился к проективной геометрии Дезарга, формирующейся в этот период, поскольку "...чутко уловил опасную тенденцию: под видом фигуральных выражений ввести новые объекты ... связанные с актуальной бесконечностью, логический статус которых оставался непонятным" 3 . Под "фигуральными выражениями" здесь понимается введенная Дезаргом бесконечно удаленная точка, в которой пересекаются параллельные прямые. Действительно, как это удалось выяснить математике XX в., существование таких актуально бесконечных объектов недопустимо с точки зрения закона исключенного третьего классической аристотелевской логики, на которую по существу опирался Декарт.

Законы классической логики, и особенно закон исключенного третьего, понадобились Декарту по причине того, что идея однозначности любого доказанного утверждения, которую фактически утверждает Декарт в своих принципах новой универсальной математики и которая стала со временем основным признаком научного знания, может иметь смысл только в рамках классической логики. Формированию дедуктивного статуса математики Декартом в немалой степени способствовала и впервые обоснованная им необходимость сведения математических утверждений к некоторым идеям, не зависящим от опыта, истинность которых очевидна, поскольку в непрерывной дедуктивной цепочке, которой и является математическое рассуждение, необходимо начальное звено - утверждение, истинность которого очевидна, поскольку должно приниматься без доказательства и не может зависеть от опыта. Иначе мы никогда реально не получим такое математическое утверждение,


2 Декарт. Разыскание истины. СПб., 2000. С. 79.

3 Катасонов В. Н. Метафизическая математика XVII в. М., 1993. С. 79-80.

стр. 151


которое, будучи однажды доказанным, остается таковым навсегда, несмотря на постоянное историческое изменение социокультурных реалий.

В самом деле, согласно Декарту (и современной логике развития математики) доказанное математическое утверждение должно быть истинно всегда. Без подобных утверждений, имеющих у Декарта статус врожденных идей, дедуктивизм в математике невозможен, а какого-либо иного дедуктивизма история науки не знает. Сразу же заметим, что врожденные идеи - слишком сильное требование в данном случае, как, впрочем, и априоризм в кантовском понимании, пришедший в философии на смену декартовым врожденным идеям.

Для утверждения принципов дедуктивизма вполне достаточно самого слабого и примитивного априоризма - даже за пределами математики, что и будет показано здесь в дальнейшем в порядке выполнения нашей основной задачи. Особенно важным при этом будет для нас то, что дедуктивный статус математики, который она приобрела в результате преобразований, осуществленных в свое время Декартом, реально неотделим от априорного статуса ее оснований.

Отметим, что основной целью Декарта, ради которой он, видимо, и выстроил общую концепцию математического дедуктивизма, было создание так называемой "универсальной математики", которая могла бы стать эффективным и надежным методом для решения задач механики, что было в те времена насущным требованием жизни. Важно, что такую "универсальную математику" во времена Декарта надо было создавать заново, хотя математическая наука как таковая, конечно, имела место. Дело в том, что математикой, на которую может опереться теология, т. е. математикой, связанной реально, как это сейчас мы понимаем, не с классической, а с иной логикой, в частности, с диалектической, можно бесконечно восхищаться, можно, вероятно, посредством ее приблизиться к познанию философских проблем, и не только во времена Кузанского, но и в наше время - а, именно, в теоретико-множественной концепции математики Г. Кантора - тем не менее, в целом представляется, что такая математика без каких-либо оговорок вряд ли может применяться практически, например, для решения задач механики и физики, что для Декарта, вообще говоря, было приоритетной задачей. Отметим, что не только рационализация математики, но и рационализация логики во времена Декарта явно оставляла желать лучшего. Это было здесь отмечено с опорой на самого Декарта немного ранее.

Дедуктивные принципы научного исследования, которым отвечала декартова "универсальная математика", обеспечили для нее строго дедуктивный статус. Представляется, что впоследствии этот статус, в результате дальнейшего развития математики в русле де-

стр. 152


картовых принципов, характерных для именно "универсальной математики", естественным образом распространился и на весьма интенсивно формирующиеся новые области математики. И вполне понятно, что в итоге вся математическая наука в целом стала рассматриваться уже как образец дедуктивности и строгости - во всяком случае, как стремящаяся стать таковой. Можно сказать, что принципы дедуктивизма, методологически "извлеченные" Декартом из математики, им же как бы "обогащенные" на основе классической логики и в таком виде снова "внедренные" в математику, и позволили математической науке раскрыть тот гигантский, имеющий важнейшее значение практический потенциал, который изначально был в ней неявно заложен и о котором до Декарта, видимо, никто и не задумывался.

Отметим, что именно математике Декарт прозорливо предназначал ведущую роль не только в решении основных практических задач, но и в познании мира. Именно в этом смысле по Декарту "... геометрия ... должна стать универсальным инструментом познания природы. При этом, однако, она должна быть преобразована так, чтобы с ее помощью можно было изучать также и движение, чего не делала античная геометрия. Тогда она предстанет в виде некоторой математики ...тождественной тому, что Декарт называл Методом" 4 . Итак, "универсальная математика" в основном интересовала Декарта как универсальный метод для решения задач прежде всего механики. Это значит, что именно Декарт заложил основы тенденции практического применения математики, которая впоследствии стала главенствующей. И на пути развития именно этой тенденции математика и достигла всех своих успехов, поистине поражающих наших современников, причем исторически математика опиралась вначале на очевидность врожденных идей (Декарт), а затем - на очевидность априорных оснований (И. Кант). В результате этого развития математике в короткий срок удалось сформировать новые области и фактически отнять у философии титул "науки наук".

В свете исследования нашей основной проблемы необходимо обратить внимание не только на связь врожденных идей, а также априоризма с дедуктивным статусом математики, но и на связь математического дедуктивизма с ориентацией математики на практическое применение. Неизбежность последней связи подтверждается всем историческим опытом и познавательной, и практической деятельностью человечества на протяжении всей его истории, а также феноменом "непостижимой эффективности" математики. Действительно, история науки подтверждает тезис о том, что механика, вооруженная математическим аппара-


4 Гайденко П.П. Христианство и генезис естествознания // Философско-религиозные истоки науки. М., 1997. С. 63.

стр. 153


том, поистине "добивается головокружительных успехов в практическом овладении миром 5 .

Представляется, что эта основанная и разработанная Декартом тенденция развития математики с ориентацией преимущественно на практическое применение необходимо должна была сохраняться и в дальнейшем, поскольку этого требовали перспективы развития не только механики, но и математики, а также всей науки в целом. Этого требовали и интересы общества, в жизни которого наука начинает играть все более значительную роль. Это значит, что указанная тенденция развития математики должна была стать непрерывной, т. е. исторически постоянно возобновляемой в познании, поскольку с точки зрения современной психологии именно "сохранение составляет необходимое условие всякой рациональной деятельности" 6 , в том числе, разумеется, и познавательной. А относительно специфики математического мышления современная философия приходит к следующему выводу: "Идет ли речь о непрерывных или дискретных величинах, о воспринимаемых количественных аспектах чувственного мира или о множествах и числах, постигаемых мышлением ... или о самой чистой аксиоматизации любого наглядного содержания, всегда и всюду сохранение чего-то постулируется разумом в качестве необходимого условия всякого математического мышления" 7 . Поскольку же необходимым условием математического мышления, в том числе и дедуктивного по Декарту, является именно априорная истинность оснований математики - прежде всего аксиом геометрии и чисел от нуля до девяти, с учетом возможности бесконечного продолжения числового ряда - то именно указанные основания математики и подлежат сохранению. Следовательно, по этой причине основания математики и должны обладать статусом независимых от опыта врожденных идей, истинность которых очевидна. Заметим, что принципиально возможность какой-либо связи с опытом здесь не отрицается. Важно только, чтобы эти идеи, сформировавшись в душе, более не изменялись в зависимости не только от опыта, но и от любых каких-либо других факторов вообще.

Поскольку без сохранения дедуктивизма в математике невозможно, как мы только что это показали, практическое применение математики, то невозможна и дальнейшая рациональная деятельность человечества, неизменной основой которой является именно практическое применение математики, что очевидно из общеисторического культурного контекста. Практическое применение матема-


5 Визгин В.П. Герметизм, эксперимент, чудо ... // Философско-религиозные истоки наук". М., 1997. С. 107.

6 Пиаже Ж. Генезис числа у ребенка // Избранные психологические труды. М., 1994. С. 244.

7 Там же

стр. 154


тики должно, в свою очередь, опираться на математический дедуктивизм, предполагающий неизменное сохранение и особый статус для оснований математики. Декартово требование врожденности оснований математики именно как вписанности определенных идей в нашу душу до рождения, разумеется, является слишком сильным в нашем контексте. Но все-таки в принципе априоризм оснований математики в каком-либо виде необходим. Наше представление об априоризме будет здесь раскрываться на протяжении всей статьи, но пока достаточно отметить, что основания математики должны исторически сохраняться и возобновляться в неизменном виде вне зависимости от конкретного социокультурного контекста эпохи. Только при этом условии определенный, задаваемый этими априорными основаниями социокультурный контекст будет сохраняться и развиваться в русле рациональной исторической деятельности человечества. Представляется, что именно в этом состоит социокультурный смысловой аспект математического априоризма. В противном же случае, рациональная деятельность человечества будет, как представляется, скорее всего прервана, по крайней мере на какое-то время. Во всяком случае, совершенно непонятно, каким образом при таком условии рационально-практическая деятельность человечества может возобновляться и развиваться. Видимо, именно такой вывод мы должны сделать относительно перспектив исторического развития человечества в свете основных идей современной философии науки.

Таким образом, можно сделать вывод, что сохранение дедуктивного статуса математики неизбежно и необходимо требует сохранения априорного статуса для ее оснований, поскольку в основе господствующей тенденции исторического развития математики, заложенной Декартом, лежит их необходимая корреляция, что показано нами ранее. Правда, как это можно увидеть из историко-философского и историко- математического анализа, статус врожденных идей для оснований математики может быть значительно ослаблен и заменен самой слабой разновидностью априоризма, даже не математического, не методологического, а психологического характера. Обратимся к работам Ж. Пиаже. Он пишет, что "потребность в сохранении составляет разновидность функционального априоризма мышления, означающего, что по мере развития мышления ... эта потребность выступает как необходимая" 8 . Это значит, что для обоснования идеи о необходимости математического априоризма здесь вполне достаточно обосновать априорный характер психологической потребности сохранения мышления, без которого,


8 Там же.

стр. 155


разумеется, никакая рациональная деятельность невозможна. С точки зрения декартова критического рационализма это утверждение также не вызывает сомнений, поскольку по Декарту познавательная деятельность в основном опирается на мышление, разум.

Однако у Пиаже вопрос такого обоснования остается открытым, и понятно почему - человеческая деятельность, кроме разума, опирается еще на нерациональные чувства и волю, которые далеко не всегда подконтрольны разуму, но которые тем не менее далеко не всегда можно от него отделить. Об этом ныне написано в любом учебнике философии. Вообще-то трудно представить себе, что деятельность человечества, в целом рациональная, или по крайней мере стремящаяся быть таковой, будет сознательно и добровольно прервана и забыта, и мир на вполне рациональных основаниях откажется не только от всех достижений цивилизации, но и от самой рациональной тенденции социокультурного развития в исторической перспективе.

Таким образом, представляется, что априорность вообще и априорность оснований математики в частности не могут не влиять на содержание социокультурной деятельности человечества, в целом стремящегося сделать ее не просто непрерывной, но и рациональной. Элементарный историко- философский анализ показывает, что именно эта тенденция в развитии человечества исторически всегда в конечном счете побеждает. Думается, что рационализм в широком смысле, придаваемом ему его провозвестниками - рационалистами XVII в. Р. Декартом и Б. Спинозой, далеко еще не исчерпал своего потенциала, и что вполне возможны повороты в историческом развитии рационализма, дающие вновь приемлемые перспективы. Представляется далеко нетривиальным тот факт, что математический априоризм, утверждающий внеопытное происхождение и социокультурную инвариантность оснований математики и тем самым вроде бы отрывающий математику от социокультурной практики человечества при той основополагающей роли, которую математика играет в современном мире, тем не менее имеет и важнейшее социокультурное значение, поскольку неявно определяет социокультурную стратегию общества.

Мы можем сделать вывод, что в отличие от социокультурного направления в философии математики, категорически отрицающего априоризм оснований математики, априористское направление, напротив, не стремится противопоставить математический апририоризм социокультурной исторической деятельности человечества. Связи между априорными основаниями математики и социокультурными ориентирами человечества все же существуют, однако природа их совершенно иная, нежели трактует социокультурная философия математики. Дело в том, что не основания математики зависят от изменяющихся социокультурных ориентиров эпохи, а, напротив, определенная тенденция

стр. 156


социокультурной деятельности, которую все же можно увидеть за разнообразными, иногда противоречащими друг другу историческими фактами - то есть тенденция рациональная - настоятельно, необходимо требует первичного признания априорности оснований математики, в том числе и в исторической перспективе. Это значит, что реально никакой надобности в эволюции бессознательных априорных структур сознания, порождающих в конечном счете у конкретного субъекта априорные основания математики, нет, да это и невозможно, поскольку трудно представить себе эволюцию бессознательного, определяющего основные этапы процесса формирования априорного знания у конкретных субъектов. В самом деле, формирование оснований мышления происходит в глубоком младенчестве и раннем детстве и носит по этой причине в основном подсознательно-интуитивный характер, и, следовательно, под влиянием рациональных факторов социокультурного происхождения эволюционировать не могут, хотя сторонники эволюционной эпистемологии утверждают обратное. Это было бы так, если бы продолжалась эволюция бессознательного и инстинктов, то есть биологическая эволюция человека, что никак не согласуется с соответствующими научными данными.

Сегодня представляется, что невозможно просто игнорировать идею математического априоризма или идею априоризма психологического характера как свойства индивидуального человеческого мышления вообще, хотя бы за пределами математики - некоего первичного априоризма, необходимость которого в психологическом отношении была только что здесь показана.

Современную математику, стремящуюся быть образцом дедуктивной научной теории, можно рассматривать как вершину ее исторической эволюции, позволяющей математическому мышлению как высшей форме рационального мышления наиболее полно раскрывать свой богатейший потенциал и оказывать определяющее влияние на формирование социокультурных ориентиров цивилизации. При этом становится понятно, что только при сохранении такого статуса для истинной или чистой математики возможно существование различных типов математики - в прошлом или будущем, а также дальнейший расцвет математической науки. Видимо, назрела методологическая необходимость выделения некоего ядра математики в соответствии с предложением В.Я. Перминова, в которое необходимо включить все дисциплины, относящиеся к чистой математике 9 . Причем, важно именно наличие такого ядра, а конкретное разделение математических теорий - окончательное и бесповоротное - на мой взгляд, не является в целом для обоснования математического априоризма принципиальным.


9 Перминов В.Я. Априорность и реальная значимость исходных представлений математики // Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб., 1999.

стр. 157


Оговоримся при этом, что общая идея праксеологического априоризма, также сформулированная В.Я. Перминовым, согласно которой основания математики рассматриваются как "интуиции, проистекающие из деятельностной ориентации познающего субъекта. Математика с этой точки зрения есть формальная онтология мира, схватывающая универсальные качества его предметной структуры, и она, безусловно, априорна в том смысле, что ее исходные интуиции не содержат в себе каких-либо эмпирических констатации" 10 .

Основываясь на изложенных здесь соображениях, можно показать необходимость математического априоризма ценой куда менее жестких допущений, что, собственно, было здесь нами и сделано. Все-таки изначально человек ориентируется не на саму практическую деятельность как имеющую цель рационального преобразования окружающей действительности, а просто на определенное восприятие окружающего мира в форме созерцания, носящего интуитивный характер, строго говоря, не имеющее определенной практической цели и никак предметно не ориентированное. Иначе можно сделать вывод, что вместе с практикой, которая постоянно и порой неожиданно и неузнаваемо изменяется вместе с социокультурными ориентирами эпохи, могут изменяться и априорные основания мышления, следовательно, и математики, что противоречит общему принципу априоризма.

В перспективе можно сделать вывод, что в будущем одновременно вполне естественно смогут существовать всевозможные типы математики - диалектический, связанный с философией, поэзией и теологией, а также, возможно, и с оккультными науками; физический, связанный с естествознанием; вероятностный, связанный с теорией вероятности; топологический и т. д. Однако необходимым условием существования этих или каких-либо других типов математики должно быть существование высшего типа математики - чистой или истинной, связанной с априорными основаниями.

В заключение остается сделать последние замечания в определении статуса априорного знания, необходимого для целостности рассматриваемой здесь идеи социокультурно- смыслового аспекта математического априоризма. Сегодня в философии науки существует несколько подходов в определении статуса априорного знания. Наиболее близка автору концепция В.Я. Перминова, согласно которой "Априорное знание в математике 1) не зависит от какого-либо опыта; 2) от содержания и типа знания; 3) эквифинально, то есть в генезисе индивидуального сознания любой опыт приводит к одной и той же системе этих принципов; 4) в отличие от эмпирических оно дано нам с безусловной (аподиктической) очевидностью, которая строго интерсубъективна; 5) эти


10 Перминов В.Я. Философия и основания математики. М., 2001. С. 47.

стр. 158


принципы внеисторичны: не могут корректироваться на основании какого-либо нового содержания знания" 11 .

В этом, достаточно полном определении математического априоризма, с точки зрения автора необходимо откорректировать пункт 1. Да, действительно в принципе под априорным знанием необходимо понимать знание доопытное и не зависящее от опыта - ни исторического, ни личностного, но это не значит, что вообще никакой связи с опытом это знание не имеет. Важно, чтобы оно не изменялось под влиянием опыта. Однако заметим, что данное утверждение вовсе не есть отрицание связи априорного знания с опытом вообще, в принципе. Представляется, что означенное знание может и должно пробуждаться, актуализироваться, в конце концов структурироваться именно под влиянием опыта, но не опыта рационального, а тем более математического мышления, а опыта интуитивно-бессознательного восприятия окружающего мира в период младенчества, которое, быть может, нельзя еще характеризовать как даже интуитивно- созерцательное восприятие действительности.

Это значит, что, вообще говоря, субъект познания изначально обладает не априорным знанием, имеющим вид некоторых утверждений или идей, а определенными элементами сознания, которые под влиянием опыта, понимаемого именно так, как мы его только что немного выше охарактеризовали, начинают взаимодействовать и в результате образуют некоторую согласованную структуру, позволяющую индивидуально-личностному сознанию получить единый интуитивный образ реальности, в которой можно как-то ориентироваться и которую можно наблюдать.

Именно эта структура, опять же под влияние дальнейшего развития опыта, позволяет субъекту познания при надлежащих мыслительных усилиях на индивидуально- личностном уровне придти к определенным утверждениям, являющимся основаниями математики. Но при этом образуется более жесткая структура второго уровня как надстройка над уже имеющейся. И здесь возникает вопрос о цене этой жесткости, носящей уже не интуитивный, а формальный характер. Ведь эта структура второго уровня формируется отнюдь не автоматически как нечто само собой разумеющееся. Представляется, что для ее формирования нужны определенные факторы, к которым прежде всего относится возможность включения конкретной личности в общекультурный контекст эпохи. Обычно таковая возможность осуществляется в результате элементарного школьного или иного обучения математике. В противном же случае, при отсутствии контакта конкретной личности, субъекта по-


11 Перминов В.Я. О природе доказательного мышления в догреческую эпоху развития математики // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 2(37). М., 1997. С.189.

стр. 159


знания с общекультурным контекстом эпохи - например, в ситуации "Маугли" - никакой структуры второго уровня сформироваться не может в принципе. И это притом, что сознание такой личности также обладает определенными априорными, врожденными элементами, которые обеспечили бы этой личности формирование структуры второго уровня - разумеется, при определенных условиях. Это значит, что формальный аспект реальности задается определенными внутренними факторами, но актуализируется внешним фактором социокультурного характера, который можно назвать традицией или опытом. И если такой традиции формирования формального аспекта, т. е. обучения математике, в конкретной культуре не существует, или она по разным причинам недоступна конкретной личности, то вторая структура не сформируется.

Здесь возникает вопрос - можно ли назвать такую структуру априорной в традиционном философском понимании этого термина? Конечно, возникает определенный соблазн объяснить формирование второй жесткой структуры исключительно влиянием опыта с позиций математического эмпиризма. Однако это представляется нам глубоко ошибочным. Дело в том, что современная философия науки выяснила - исключительно из опыта нельзя вывести никакие теоретические утверждения. Дополнительно еще нужны, как минимум, внутренняя априорная опора в виде интуитивно- подсознательного образа мира, коим обладает конкретная личность; конкретная в данном случае математическая теория, а также вообще представление о возможности теоретического мышления. И в дальнейшем ничто нам не мешает называть знание, сформировавшееся в результате деятельности априорной структуры сознания, понимаемой нами именно рассмотренным образом, априорным знанием. Для полного понимания сделанных выводов можно привлечь следующие простейшие соображения, опираясь на разработки эволюционной эпистемологии. Дело в том, что инстинкты можно рассматривать как своего рода врожденное знание. Действительно, они даются до всякого опыта, поскольку являются врожденными. Вряд ли можно говорить о каких-либо элементах сознания, психики, если так можно выразиться, более "врожденных", или "априорных", чем инстинкты. Однако известно, что это врожденное знание, все-таки, необходимо как-то актуализировать, пробудить, что и происходит в животном мире, когда взрослые особи обучают молодняк. По аналогии можно предположить, что подобным же образом происходит и актуализация априорных форм сознания у человека. Как вообще можно говорить о каком- либо врожденном знании в буквальном смысле этого слова, если даже инстинкты требуют актуализации? Поэтому мы здесь настаиваем, что наше понимание априоризма является вполне корректным.

стр. 160


При этом крайне важно понимать, что априорные формы сознания необходимы, и что априорное знание окончательно не сводимо ни к каким факторам социокультурного характера, которые, как мы здесь показали, также необходимы для формирования априорного знания. Все-таки одна только социокультурная традиция без подсознательных априорно- интуитивных структур - слишком шаткая опора не только для знания как итога исторического развития всего человечества, но и для знания личностного, которое и может быть сформировано личностью только при условии его базирования на априорно-интуитивных элементах сознания.

Отметим, что некоторые сомнения в определении априорного знания в математике, данного В.Я. Перминовым, вызывает также пункт 2. Действительно, это крайне жесткое, в духе Гуссерля, сформулированное здесь понимание априорного знания, в принципе не дает никаких оснований для его принятия как подходящего. Правда, если под индивидуальным сознанием понимать индивидуально-личностное сознание, которым обладает именно человек, то по отношению к этому утверждению в свете нашей концепции математического априоризма все сомнения должны быть отброшены.

Подводя общий итог, заметим, что интуитивно понятна роль, которую априоризм оснований сыграл в становлении и развитии всей современной цивилизации, построенной на идеях рационализма, "локомотивом" которого является математика. Априорное знание - это та малая частичка абсолютной истины, которая доступна человеку, и покуситься на нее не сможет никакой конвенционализм. Сама культура при всей своей динамичности и непредсказуемости строится на априорных основаниях. В самом деле, в основе всего музыкального разнообразия лежат все те же семь нот; при желании можно показать, что даже форма букв русского алфавита связана с формой некоторых не подверженных изменениям небесных объектов, и, следовательно, априорна; далее, не последнее значение в становлении культурных смыслов любой эпохи по К. Юнгу имеют так называемые архетипы - неосознаваемые интерсубъективные образы, "управляющие" и отдельными людьми, и всем человечеством в целом и т. д.

Социокультурные тенденции в философии математики, видимо, укрепляет и тот факт, что многие области современной математики, вследствие их чрезвычайной разработанности, значительно оторвались от ее априорных оснований и стали почти самостоятельным и неизбежным продолжением многих естественнонаучных и технических дисциплин; или совершили восхождение к высочайшим вершинам абстрактного мышления. Определенное значение в этом смысле имеет и то, что наука перестала быть уделом одиночек, вследствие чего современная научная истина становится коллективной, конвен-

стр. 161


циональной, поскольку необходимо требует признания ее некоторым научным сообществом. Нетрудно понять, что подобные особенности развития современной науки укрепляют общие тенденции конвенционализма в исследовании философской проблемы истины и вместе с тем абсолютизируют роль социокультурного фактора в развитии математики.

Сказанное отнюдь не означает, что автор в принципе отрицает какое-либо значение социокультурного фактора в развитии математики и определении тенденций ее будущего. Более того, связь математического априоризма и социокультурного подхода в философии математики, вообще социокультурный смысл математического априоризма вполне обосновывается предыдущими рассуждениями. Вполне закономерно, что рациональность как перспективная тенденция всякой человеческой деятельности может рассматриваться как фактор социокультурного характера. В этой связи представляется, что социокультурное значение математического априоризма как необходимого условия постоянного возобновления такой деятельности трудно переоценить. В заключение отметим, что интересные идеи, предлагаемые сторонниками социокультурного подхода в философии математики, крайне полезны и должны разрабатываться в дальнейшем. Математика не упала с неба подобно Корану. Она является творением человека, и в ее становлении и развитии огромное значение имеет социокультурный фактор. По существу, это означает, что в конечном счете математический априоризм и социокультурное направление в философии математики не должны отрицать друг друга, а обязаны заниматься поисками диалектического консенсуса, к которому вполне возможно придти на основании основных идей данной статьи.


© libmonster.ru

Permanent link to this publication:

https://libmonster.ru/m/articles/view/СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ-АСПЕКТ-МАТЕМАТИЧЕСКОГО-АПРИОРИЗМА

Similar publications: LRussia LWorld Y G


Publisher:

Iosif LesogradskiContacts and other materials (articles, photo, files etc)

Author's official page at Libmonster: https://libmonster.ru/Lesogradski

Find other author's materials at: Libmonster (all the World)GoogleYandex

Permanent link for scientific papers (for citations):

Л. Б. СУЛТАНОВА, СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ АСПЕКТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АПРИОРИЗМА // Moscow: Russian Libmonster (LIBMONSTER.RU). Updated: 09.09.2015. URL: https://libmonster.ru/m/articles/view/СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ-АСПЕКТ-МАТЕМАТИЧЕСКОГО-АПРИОРИЗМА (date of access: 06.08.2021).

Publication author(s) - Л. Б. СУЛТАНОВА:

Л. Б. СУЛТАНОВА → other publications, search: Libmonster RussiaLibmonster WorldGoogleYandex

Comments:



Reviews of professional authors
Order by: 
Per page: 
 
  • There are no comments yet
Related topics
Publisher
Iosif Lesogradski
Москва, Russia
1211 views rating
09.09.2015 (2158 days ago)
0 subscribers
Rating
0 votes
Related Articles
ПЕРЕСЛАВСКИЙ КРАЕВЕД С. Е. ЕЛХОВСКИЙ И ЕГО ФОЛЬКЛОРНО-ЭТНОГРАФИЧЕСКОЕ СОБРАНИЕ
18 hours ago · From Россия Онлайн
ПРОЦЕССУАЛЬНАЯ АРХЕОЛОГИЯ И ЭТНОАРХЕОЛОГИЯ ОХОТНИКОВ И СОБИРАТЕЛЕЙ
Catalog: История 
18 hours ago · From Россия Онлайн
ОДОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ К АНТРОПОЛОГИЧЕСКОЙ ИСТОРИИ КАВКАЗА
2 days ago · From Россия Онлайн
СТОЛ И КРАСНЫЙ УГОЛ В ИНТЕРЬЕРЕ КРЕСТЬЯНСКОЙ ИЗБЫ СЕВЕРО-ЗАПАДА РОССИИ И ВЕРХНЕГО ПОВОЛЖЬЯ
2 days ago · From Россия Онлайн
РУССКИЕ РАЗГОВОРЫ С НЭНСИ РИС
2 days ago · From Россия Онлайн
О ВКЛАДЕ НЭНСИ РИС В "РУССКИЙ МИФ"
2 days ago · From Россия Онлайн
ОТРЫВКИ РУССКИХ РАЗГОВОРОВ
2 days ago · From Россия Онлайн
Творцы Сфинкса и Пирамид, его свиты — Атланты, Луны древний люд.
Catalog: Философия 
2 days ago · From Олег Ермаков
КРУГЛЫЙ СТОЛ" НА ИСТОРИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ МГУ
Catalog: История 
4 days ago · From Россия Онлайн
Р. В. Долгилевич. СОВЕТСКАЯ ДИПЛОМАТИЯ И ЗАПАДНЫЙ БЕРЛИН (1963-1964 гг.)
Catalog: Право 
4 days ago · From Россия Онлайн

Actual publications:

Latest ARTICLES:

Libmonster is the largest world open library, repository of author's heritage and archive

Register & start to create your original collection of articles, books, research, biographies, photographs, files. It's convenient and free. Click here to register as an author. Share with the world your works!
СОЦИОКУЛЬТУРНЫЙ АСПЕКТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АПРИОРИЗМА
 

Contacts
Watch out for new publications: News only: Chat for Authors:

About · News · For Advertisers · Donate to Libmonster

Russian Libmonster ® All rights reserved.
2014-2021, LIBMONSTER.RU is a part of Libmonster, international library network (open map)
Keeping the heritage of Russia


LIBMONSTER NETWORK ONE WORLD - ONE LIBRARY

US-Great Britain Sweden Serbia
Russia Belarus Ukraine Kazakhstan Moldova Tajikistan Estonia Russia-2 Belarus-2

Create and store your author's collection at Libmonster: articles, books, studies. Libmonster will spread your heritage all over the world (through a network of branches, partner libraries, search engines, social networks). You will be able to share a link to your profile with colleagues, students, readers and other interested parties, in order to acquaint them with your copyright heritage. After registration at your disposal - more than 100 tools for creating your own author's collection. It is free: it was, it is and always will be.

Download app for smartphones