Libmonster ID: RU-10044

В. БУРЛАЧКОВ, доктор экономических наук, главный научный сотрудник ИЭ РАН, профессор Академии труда и социальных отношений

В настоящее время понятие "турбулентность" широко используется в сфере экономических исследований. Но его применение основывается не на разработанной теоретической и методологической базе, а лишь на интуитивном понимании. Турбулентность обычно трактуется как неупорядоченное движение, для которого характерны быстрая смена рыночных тенденций и сильные колебания экономических показателей.

В связи с этим возникает три вопроса: насколько правомерно использовать в экономике понятие "турбулентность"? Что следует понимать под турбулентностью хозяйственной системы? Какое значение имеет анализ экономических процессов для изучения турбулентности?

Экономическая динамика и турбулентность

Анализ изменчивости хозяйственной среды традиционно считается одной из важнейших задач экономической науки. Но исторически основное внимание экономисты уделяли выявлению закономерностей статических состояний хозяйственной системы.

В нобелевской лекции 1993 г. Д. Норт утверждал, что теории экономической динамики не существует. Действительно, традиционные подходы не позволяют объяснить волатильность процессов хозяйственной среды. В современной экономической науке под ней обычно понимается скачкообразное изменение статических состояний. Такой подход был характерен и для исследований XIX-XX вв.

Теории экономического роста в основном сводятся к определению набора факторов, определяющих равновесные состояния хозяйственной системы. Модель IS -LM (инвестиции - сбережения, предпочтение ликвидности - деньги), разработанная Дж. Хиксом на основе идей Дж. М. Кейнса, указывает на направление смены статических состояний при изменении процентной ставки и дохода. При этом предполагается сбалансированность спроса на деньги и их предложения, а также сбережений и инвестиций. Экономические мультипликаторы представляют собой инструменты анализа количественного изменения лишь отдельных показателей. Широко используемый в экономической науке системный анализ - это изучение статического состояния системы. Теория экономических механизмов (Л. Гурвиц, Р. Майерсон, Э. Маскин) рассматривает главным образом особенности функционирования рынков, в том числе при асимметрии информации, и возможности использования специальных институтов и процедур для

стр. 90
обеспечения рыночной стабильности. Но непосредственно проблемы динамики эта теория не затрагивает.

Для характеристики состояния экономической системы традиционно применяют балансовые соотношения "спрос - предложение", "доходы - расходы", "производство - реализация", "потребление - накопление", "сбережения - инвестиции". При этом основное внимание уделяют факторам достижения равновесия, но не факторам его нарушения. Таким образом, динамика экономической системы действительно изучена недостаточно.

По нашему мнению, экономическую динамику можно определить как совокупность процессов, протекающих с различной интенсивностью, влияющих друг на друга, совпадающих по направлению или разнонаправленных. В свою очередь, процесс представляет собой смену состояний, имеющую определенную скорость. Именно последняя отличает динамическое состояние от статического.

Теория экономической динамики изучает, во-первых, процессы, протекающие в хозяйственной системе; во-вторых, относительные скорости ее элементов, то есть разность темпов их динамики. В частности, изменение соотношения процессов заключения сделок (формирования обязательств хозяйствующих субъектов) и их исполнения при взаимных расчетах выступает основным фактором нестабильности. Для анализа динамики основное значение имеют не структурные, а процессные параметры экономической системы и соответственно процессный подход к ее функционированию.

Наиболее сложное проявление экономической динамики - высокая волатильность процессов, предопределяемая значительными различиями в темпах их протекания и направленности. Неустойчивость характерна прежде всего для процессов формирования цен, валютных курсов, биржевых котировок. Их изменения представлены во времени сложным, часто хаотическим движением. Но значительная изменчивость свойственна и другим экономическим процессам: формированию спроса и предложения на рынках факторов производства, потреблению и сбережениям, инвестированию, реализации продукции, проведению расчетов, формированию доходов и расходов бюджетной системы и др.

В экономической аналитике и научных работах сложилось понимание изменчивости как колебаний соответствующих показателей. Но ее можно представить и как сложное движение по спирали, или образование вихрей.

С появлением работ И. Пригожина по нелинейной динамике и созданием Б. Мандельбротом теории фракталов (геометрических фигур, обладающих свойством самоподобия и дробной размерностью)1 предпринимались попытки описать экономические процессы с помощью нелинейных уравнений, а также найти фрактальные структуры и законы подобия в рыночных переменных. На основе полученных результатов сейчас формируется следующее представление: экономика относится к системам,

1 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Институт компьютерных исследований. М., 2002.

стр. 91
не интегрированным по Пуанкаре. Это означает, что в экономической среде постоянно возникают новые факторы, которые невозможно учесть на начальном этапе анализа и проведения прогнозных расчетов.

Проявление законов подобия и наличие фрактальных структур, то есть стабильности, возможны лишь в условиях устойчивости информационных процессов. Соответственно отсутствие фрактальных структур свидетельствует о нестабильности информационных потоков в экономике. В результате возникают непреодолимые в настоящий момент проблемы при моделировании экономических процессов и их прогнозировании.

Трудности изучения экономической динамики также связаны с недостаточной разработанностью методов анализа, позволяющих делать акцент на волатильности процессов хозяйственной системы. Одно из направлений развития таких методов - исследование турбулентности, что требует изучения процессов, обусловливающих формирование систем и эволюцию их конкретных элементов.

С методологической точки зрения актуален вопрос об использовании понятий "темп" и "скорость" при анализе экономических процессов. В отличие от скорости темп роста является безразмерным показателем.

В естественных науках скорость - важнейшая характеристика турбулентности. В физике она определяется как отношение величины пространственной протяженности ко времени. В химии скорость реакции есть изменение числа частиц вещества за единицу времени в единице объема, то есть она не имеет пространственной характеристики. Следовательно, нет универсального понятия скорости, что указывает на возможность ее расширенной трактовки в экономике - как соотношения темпов взаимосвязанных экономических процессов. Данный показатель представляет собой количественную меру взаимодействия динамических явлений и имеет большое значение для анализа причин возникновения турбулентных состояний.

Турбулентность в естественных науках и экономике

В естественных науках под турбулентностью понимается движение в сплошной среде, при котором наблюдается формирование вихрей в результате пульсации скоростей в отдельных локальных областях. В авиации зону высокой турбулентности называют воздушной ямой. Турбулентность возникает в потоках жидкостей, газов, жидких кристаллах, плазме, движении крови в сердце человека. Это явление также наблюдается в квантовых средах. Скорость турбулентного потока иногда представляют состоящей из средней величины и пульсационной составляющей.

Состояние турбулентности обычно определяют как хаотическое. Но такая трактовка недостаточно точна. Турбулентность проявляется как поле скоростей, то есть движение с разными скоростями элементов ранее единой системы. Эти элементы перемещаются не подобно частицам в броуновском движении, а проявляют пространственную организацию, образуют вихри.

стр. 92
На начальных этапах изучения турбулентности основное внимание уделялось передаче энергии от крупномасштабных вихреобразных структур к мелкомасштабным. Такая передача энергии приводит к потере устойчивости структур.

В 1960-е годы активно исследовали характеристики пограничных слоев и их роль в затухании турбулентности, а также значение вязкости жидкости для турбулентных процессов. В последние годы для объяснения турбулентности в естественных науках широко использовали две гипотезы - хаотических автоколебаний и хаотического аттрактора. Первая объясняет возникновение турбулентности системой обратных связей, распространяемых в средах протекания турбулентных процессов; согласно второй, формирование самовоспроизводящихся вихревых структур связано с наличием притягивающего множества. В настоящее время эти гипотезы не считаются перспективными. В естественных науках пока не решена проблема перехода от устойчивого (ламинарного) движения к турбулентному и обратно.

В работе Р. Мантенья и Г. Стенли предпринята попытка сравнить возникновение турбулентности в естественной среде с формированием цен на финансовые активы. Первый процесс представлен изменчивостью скорости ветра в атмосфере на высоте 6 м; второй - динамикой индекса S&P 500. Основной вывод этих авторов состоит в том, что процессы в двух различных сферах протекают внешне похоже, но имеют различные количественные характеристики2. Оба явления описываются степенным законом σ (Δt) ~ (Δt)υ, однако для изменения биржевого индекса величина υ = 0,53, следовательно, переменные не коррелированы. Для скорости ветра υ = 0,33, соответственно эти переменные антикоррелированы. Кроме того, в двух указанных процессах по-разному проявляется вероятность возврата к исходному состоянию.

На наш взгляд, проведенные Мантенья и Стенли сопоставления не корректны. Во-первых, формирование биржевого индекса происходит под воздействием игроков, стремящихся предугадать действия друг друга и провести контригру. Этот процесс информационно насыщенный и потому очень волатильный, но он не распадается на отдельные процессы, протекающие с различной скоростью. Не следует путать волатилъные процессы с турбулентными: первые характеризуются колебаниями в широких диапазонах; последним свойственно движение отдельных элементов с разной скоростью.

Сказанное относится и к скорости ветра. Сам по себе этот процесс волатильный, но не турбулентный. Лишь в определенных случаях в движении воздушных масс проявляется турбулентность, в частности в кружении листвы на мостовой под воздействием порывов ветра. Такое движение прерывистое и характеризуется появлением поля скоростей.

При анализе турбулентности исследователи сталкиваются с сочетанием двух видов движения: направленного по прямой и вращательного. Скорости этих движений различны. В гидродинамике скорость вихрей может составлять 0,5 - 0,7 от скорости потока, что позволяет высказать гипотезу об особой роли относительной скорости в турбулентных явлениях.

2 Мантенья Р., Стенли Г. Введение в эконофизику: Корреляция и сложность в финансах. М.: Книжный дом "Либроком", 2009. С. 118.

стр. 93
Устойчивость и турбулентность

В самом общем смысле под устойчивостью понимается сбалансированность процессов в хозяйственной системе. Это означает, что скорости протекания основных экономических процессов равны. Следовательно, относительная скорость конкретного процесса, то есть его динамика по сравнению с общей изменчивостью системы, нулевая. Исходя из этого динамичность хозяйственной системы можно трактовать как неравенство нулю относительной скорости конкретных экономических процессов.

Устойчивость характеризует статическое состояние хозяйственной системы. Ему присуща сравнительная пропорциональность изменения конкретных процессов, при этом относительная скорость отдельных элементов системы не выявляется. Но для турбулентности характерна такая ее величина, при которой наступает режим вихревого вращения. Ускорение движения одних элементов сочетается с замедлением относительной скорости других. Чем больше элементов системы приобретает относительную скорость, тем сильнее турбулентная динамика как прерывистое, вихревое движение.

При анализе турбулентности большое значение имеет максимальная скорость распространения взаимодействия (МСРВ) в системе. Лишь зная МСРВ, можно определить относительную скорость ее конкретных элементов. МСРВ является скоростью движения системы в целом.

В экономической системе взаимодействие конкретных элементов обеспечивается реализацией товаров и услуг. Именно скорость заключения сделок можно считать максимальной скоростью распространения взаимодействия в этой системе. Очевидно, она не совпадает со скоростью погашения обязательств. Можно записать следующее уравнение:

Cd = kCp, (1)

где: Cd - скорость заключения сделок (равна МСРВ); Cp - скорость погашения обязательств и соответственно исполнения сделок; k - коэффициент.

При k = 1 скорости заключения сделок и погашения обязательств равны. Соответственно их относительная скорость равна нулю, тем самым обеспечивается основное условие стабильности экономической системы. При k < 1 в ней возникает угроза турбулентности, поскольку из-за неспособности погасить обязательства относительная скорость важнейшего процесса в экономической системе становится ненулевой.

Следует учитывать, что МСРВ есть максимальная скорость передачи информации в системе. При наличии у ее элементов относительной скорости возникает поле скоростей передачи информации. Изменчивость МСРВ предопределяет цикличность экономического развития. Скорость заключения сделок возрастает в периоды среднесрочных экономических подъемов, а также на повышательных фазах длинных кондратьевских волн экономической конъюнктуры. Снижение скорости заключения сделок равнозначно падению платежеспособного спроса.

Особую проблему представляет учет сделок по хеджированию. Эти сделки могут быть заключены, но впоследствии при реализации

стр. 94
системного риска оказаться невыполненными. Поэтому их следует считать исполненными только по истечении срока действия соответствующих контрактов.

Относительная скорость конкретного экономического процесса может изменяться по двум причинам: изменения МСРВ в экономической системе или скорости конкретного процесса. Эти причины также предопределяют экономическую турбулентность как проявление прерывности движения при относительных скоростях.

Таким образом, устойчивость экономической системы характеризует ее состояние при нулевой относительной скорости входящих в нее элементов. Xaoc - состояние системы при нулевой скорости распространения взаимодействия.

Для понимания турбулентности и ее математического описания важен анализ относительных скоростей конкретных элементов системы, а также максимальной скорости распространения взаимодействия. В релятивистской физике скорости движущихся объектов соотносятся со скоростью света как максимальной скоростью распространения взаимодействия в физической среде.

Широко известные преобразования Лоренца позволяют рассматривать одно и то же событие в разных системах координат, то есть в различных системах отсчета, движущихся относительно друг друга. Поэтому в данном случае используют относительные скорости, а также максимальную скорость - распространение света. Для перехода от системы X к движущейся относительно нее системе X' применяют следующие уравнения преобразований Лоренца:

x = γ (x' + υt'); t = γ (t' + υx'/c2); у = у'; z = z', (2)

где: у=1√1-υ2/с2 - лоренц-фактор; x,y,z - координаты системы X; x', y', z' - координаты системы X'; υ - скорость системы X' относительно системы X; c - скорость света.

Преобразования Лоренца первоначально распространялись лишь на системы, движущиеся прямолинейно и параллельно друг другу но после выявления свойства некоммутативности этих преобразований их стали применять для анализа более широкого класса систем. В настоящее время преобразования Лоренца используют не только в релятивистской физике, но и в других областях естественных наук3. Тем не менее допустимость их применения при анализе систем с нерелятивистскими скоростями, то есть скоростями значительно меньше скорости света, остается на уровне научной гипотезы. На наш взгляд, преобразования Лоренца вполне пригодны для изучения конкретной системы при ее переходах к движению с разными скоростными режимами. В этом случае проявляется скорость системы в точке A относительно скорости той же системы в точке B.

Как отмечают Л. Сабинин и П. Михеев, сложение относительных скоростей не только некоммутативно, но и неассоциативно4. Некоммутативный процесс асимметричен. И наоборот, в коммутатив-

3 Baskal S., Kim Y. Rotations Associated with Lorentz Boosts // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2005. Vol. 38, No 29. www.physics.metu.edu.tr/~baskal/jpa-bk05.pdf.

4 Сабинин Л. В., Михеев П. О. О законе сложения скоростей в специальной теории относительности // Успехи математических наук. 1993. Т. 48, вып. 5. С. 183.

стр. 95


ности проявляется симметрия. Некоммутативность отражает важную особенность процесса - его последовательность и неравноценность конкретных стадий. В свойстве неассоциативности проявляется необратимость процесса.

Принципиальное значение имеет вопрос о возможности использовать в преобразованиях Лоренца темпы динамики (безразмерные показатели) вместо показателя скорости (имеющего размерность - км/с). Темп, как и скорость, - относительный показатель. По нашему мнению, его использование даже упрощает расчеты, исключая переменную времени.

Преобразования Лоренца математически описывают не только пространственное перемещение системы по прямой линии, но и ее вращение. На рисунке представлена интерпретация следующей ситуации. Два последовательных преобразования переводят систему из состояния S0 в состояния S1 и S2. При этом скорость системы изменяется. Но два последовательных преобразования B1 и B2 не равны третьему преобразованию B3 из-за свойства некоммутативности. Третье преобразование включает вращение на угол со. Как показали Ч. Мизнер, К. Торн и Дж. Уилер, скорость такого вращения определяется ускорением движения системы5.

Это свойство преобразования относительных скоростей можно записать так:

B(υ1)B(υ2) = C(ω)B(υ1 + υ2), (3)

где: υ1 υ2 - векторы относительных скоростей; B - оператор прямолинейного движения системы; C - оператор ее поворота; (ω) - угол поворота.

Из равенства (3) следует, что преобразование относительных скоростей включает два оператора: первый обеспечивает движение системы по прямой; второй - ее поворот на угол со. При определенном соотношении относительных скоростей элементы системы могут делать не просто поворот, а полный разворот. Иными словами, изменение относительной скорости элемента системы способно привести к вихревому образованию.

Разумеется, в данном случае мы обсуждаем лишь особенности математического описания конкретного явления - изменения относительной скорости элементов системы. Количественный анализ допускает наличие оператора вращения в математических преобразованиях относительных скоростей. Но это не означает, что такой оператор обязательно должен присутствовать в физических, а тем более - в экономических процессах. В данном случае необходим качественный анализ конкретных явлений, способный подтвердить или опровергнуть возможность возникновения вихревого движения в системах при изменении относительной скорости движения их элементов.

Конкретный элемент системы при увеличении его относительной скорости под воздействием внешней силы испытывает вращение. Причем основным фактором появления асимметрии служит скачок скорости системы в результате резко проявившегося ускорения. На наш взгляд, аналогичная интерпретация применима к экономическим процессам. В результате изменения скоростного режима, предопределяемого отно-

5 Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. Т. 3. М.: Мир, 1977. С. 405.

стр. 96
сительными скоростями отдельных элементов экономической системы, в ней формируется вихревое движение как зона нестабильности с разнонаправленной динамикой рыночных показателей. Вихревой эффект в экономической системе проявляется в результате резкого изменения скорости движения ее элементов относительно МСРВ. Именно скачки скорости нарушают сбалансированность системы. Но при близости скорости движения элементов системы к МСРВ эти скачки незначительны, и эффект вращения оказывается минимальным.

Пузыри на фондовом и ипотечном рынках стали результатом проявления относительных скоростей взаимосвязанных процессов, или различий в их динамике. Соответственно прекращение турбулентного состояния связано с восстановлением определенного соответствия между скоростями процессов в системе.

В экономике турбулентность может возникнуть, если темп роста погашаемых обязательств значительно отстает от темпа роста сделок, то есть формирования обязательств. На это указывает динамика совокупной задолженности домашних хозяйств развитых стран, в частности США, в периоды, предшествующие крупнейшим экономическим потрясениям - кризисам 1929 и 2008 г. Уровень задолженности домашних хозяйств, при котором от 30 до 50% сделок в потребительском секторе осуществляется в кредит, можно рассматривать как критический. За ним возникает вихревой эффект. Турбулентное состояние экономической системы обусловлено разрывами в темпах протекания взаимосвязанных процессов, таких как спрос и предложение, производство и потребление, сбережение и инвестирование.

* * *

Проведенный анализ позволяет дать следующие ответы на поставленные в начале статьи вопросы. Во-первых, турбулентность есть свойство процессов, в том числе экономических, следовательно, это характеристика экономической динамики. Применение процессного подхода в макроэкономике предполагает использование таких понятий, как турбулентность и относительные скорости процессов.

Во-вторых, турбулентность возникает как проявление относительной скорости протекания конкретных процессов. В этом случае экономическая система способна терять устойчивость. Соответственно равновесие - состояние экономической системы при нулевой или минимальной относительной скорости ее элементов. Турбулентность как механизм неустойчивости возникает при ненулевой относительной скорости элементов системы. В этом смысле турбулентность есть свойство составляющих элементов какого-либо процесса приобретать относительную скорость.

В-третьих, анализ экономических процессов позволяет сделать вывод, что причина турбулентности - в проявлении относительной скорости отдельных элементов системы при сохранении максимальной скорости распространения взаимодействия в ней. Такой подход дает возможность применить преобразования Лоренца для математического описания турбулентности экономических явлений.


© libmonster.ru

Permanent link to this publication:

https://libmonster.ru/m/articles/view/ТУРБУЛЕНТНОСТЬ-ЭКОНОМИЧЕСКИХ-ПРОЦЕССОВ-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ-АСПЕКТЫ

Similar publications: LRussia LWorld Y G


Publisher:

Konstantin SenatorovContacts and other materials (articles, photo, files etc)

Author's official page at Libmonster: https://libmonster.ru/Senatorov

Find other author's materials at: Libmonster (all the World)GoogleYandex

Permanent link for scientific papers (for citations):

В. БУРЛАЧКОВ, ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ // Moscow: Russian Libmonster (LIBMONSTER.RU). Updated: 29.09.2015. URL: https://libmonster.ru/m/articles/view/ТУРБУЛЕНТНОСТЬ-ЭКОНОМИЧЕСКИХ-ПРОЦЕССОВ-ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ-АСПЕКТЫ (date of access: 03.08.2021).

Found source (search robot):


Publication author(s) - В. БУРЛАЧКОВ:

В. БУРЛАЧКОВ → other publications, search: Libmonster RussiaLibmonster WorldGoogleYandex

Comments:



Reviews of professional authors
Order by: 
Per page: 
 
  • There are no comments yet
Related topics
Publisher
Konstantin Senatorov
Актобэ, Kazakhstan
5795 views rating
29.09.2015 (2135 days ago)
0 subscribers
Rating
0 votes
Related Articles
Творцы Сфинкса и Пирамид, его свиты — Атланты, Луны древний люд.
Catalog: Философия 
2 hours ago · From Олег Ермаков
КРУГЛЫЙ СТОЛ" НА ИСТОРИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ МГУ
Catalog: История 
Yesterday · From Россия Онлайн
Р. В. Долгилевич. СОВЕТСКАЯ ДИПЛОМАТИЯ И ЗАПАДНЫЙ БЕРЛИН (1963-1964 гг.)
Catalog: Право 
Yesterday · From Россия Онлайн
Анонс Изучение новой теории электричества, пожалуй, нужно начинать с анекдота, который актуален до сих пор. Профессор задаёт вопрос студенту: что такое электрический ток. Студент, я знал, но забыл. Профессор, какая потеря для человечества, никто не знает что такое электрический ток, один человек знал, и тот забыл. А ларчик просто открывался. Загадка электрического тока разгадывается, во-первых, тем что, свободные электроны проводника не способны
Catalog: Физика 
Как нам без всякой мистики побеседовать с человеческой душой и узнать у нее тайны Мира.
Catalog: Философия 
5 days ago · From Олег Ермаков
АВГУСТ ФОН КОЦЕБУ: ИСТОРИЯ ПОЛИТИЧЕСКОГО УБИЙСТВА
5 days ago · From Россия Онлайн
ОТТО-МАГНУС ШТАКЕЛЬБЕРГ - ДИПЛОМАТ ЕКАТЕРИНИНСКОЙ ЭПОХИ
Catalog: Право 
5 days ago · From Россия Онлайн
ПРОТИВОБОРСТВО СТРАТЕГИЙ: КРАСНАЯ АРМИЯ И ВЕРМАХТ В 1942 году
5 days ago · From Россия Онлайн
ИСТОРИЯ ДВУСТОРОННИХ ОТНОШЕНИИ РОССИИ И БОЛГАРИИ В XVIII-XXI веках
Catalog: История 
5 days ago · From Россия Онлайн
Г. С. Остапенко, А. Ю. Прокопов. НОВЕЙШАЯ ИСТОРИЯ ВЕЛИКОБРИТАНИИ XX - начала XXI века.
Catalog: История 
6 days ago · From Россия Онлайн

Actual publications:

Latest ARTICLES:

Libmonster is the largest world open library, repository of author's heritage and archive

Register & start to create your original collection of articles, books, research, biographies, photographs, files. It's convenient and free. Click here to register as an author. Share with the world your works!
ТУРБУЛЕНТНОСТЬ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ: ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ
 

Contacts
Watch out for new publications: News only: Chat for Authors:

About · News · For Advertisers · Donate to Libmonster

Russian Libmonster ® All rights reserved.
2014-2021, LIBMONSTER.RU is a part of Libmonster, international library network (open map)
Keeping the heritage of Russia


LIBMONSTER NETWORK ONE WORLD - ONE LIBRARY

US-Great Britain Sweden Serbia
Russia Belarus Ukraine Kazakhstan Moldova Tajikistan Estonia Russia-2 Belarus-2

Create and store your author's collection at Libmonster: articles, books, studies. Libmonster will spread your heritage all over the world (through a network of branches, partner libraries, search engines, social networks). You will be able to share a link to your profile with colleagues, students, readers and other interested parties, in order to acquaint them with your copyright heritage. After registration at your disposal - more than 100 tools for creating your own author's collection. It is free: it was, it is and always will be.

Download app for smartphones