Бог формул не писал 
 всякому явлению Он 
 полагал свои пределы 
  
 Крайности сходятся  
  
 

Народная мудрость

Первое учение о бесконечности - "апейроне" - принадлежало Фалесу и Анаксимандру (VI в. до н. э.). Это учение о беспредельном, первоматерии, бесконечной в пространстве и времени, вечно движущейся, обладающей бесконечным количеством качеств. Другая точка зрения (Анаксимен) объясняла бесконечность цикличностью, вечным круговоротом материи. Затем был Пифагор, который видел истину только в числах и потому бесконечность считал пустой, олицетворением зла, безграничность - это незавершенность, а совершенство в конечности. Далее были апории (парадоксы) Зенона - основоположника диалектики (так называл его Гегель) - апории сыграли огромную роль в вопросе о бесконечности. Роль их была так велика, что в натурфилософии из-за них случился кризис. Выход из кризиса предложил Аристотель, его предложения по бесконечности сводились к следующему: в самой природе бесконечного нет; бесконечность - это процесс осуществимости сколь угодно большого, но конечного числа; бесконечная последовательность натуральных чисел, которая получается путем последовательного прибавления единицы, он назвал потенциальной бесконечностью; бесконечность, которая предполагает возможность завершения бесконечного процесса он назвал актуальной, т.е. актуальное бесконечное множество является завершенным - ставшим; математики вполне могут обойтись потенциальной бесконеч-

стр. 35

ностью, а актуальную следует отбросить как ненужную.

Следующий шаг в изучении бесконечности сделали Ньютон, Лейбниц и Коши, разработавший теорию пределов. С тех пор бесконечно малой стали считать переменную величину, предел которой равен нулю, т.е. бесконечно малые стали рассматривать как процесс, как потенциальную бесконечность. Однако многие математики были против бесконечности. Так, Даламбер отмечал явную метафизичность бесконечно малой величины, Лагранж употреблял термин "очень малая величина" вместо бесконечно малая. Лейбниц и Эйлер признавали конкретность выражения 0/0 и показывали это на частных примерах, говоря, что нельзя смешивать различные нули. Интересны выводы Л. Кутюра, к которым он пришел, рассматривая бесконечность совершенно абстрактно, чисто арифметически. Кутюра получил, что бесконечность противоположна нулю. По этому поводу он сказал, что при достаточном размышлении оказывается, что нуль является не менее скандальным и таинственным предметом, чем идея бесконечности. Генцен считал, что бесконечный ряд может рассматриваться не как законченный, а только как становящаяся совокупность. Гаусс под бесконечностью понимал только условное обозначение, а практически считал, что когда речь идет о бесконечности в математике, то оперируют с пределами, которые не есть бесконечности. Что же касается бесконечности, то он считал, что эта проблема соприкасается непосредственно с метафизикой.

Дальнейшая разработка вопроса о бесконечности была предпринята Кантором, предложившим в XIX в. теорию множеств, в которой он свел понятие бесконечности к понятию бесконечных множеств - к актуальной бесконечности (бесконечность по Кантору - это множество, в котором части могут быть равномощны целому). Здесь актуальная бесконечность воспринимается как бесконечный ряд, взятый в целом (как законченный), и эволюция и время сокрыты внутри этого процесса - т. е. актуальная бесконечность - это кантовская вещь в себе. Бесконечно малые в теории множеств Кантора практически не рассматривались.

Кантор четко разграничил: Абсолют - это бесконечное в Боге, а бесконечное в нашем мире он определял трансфинитными числами. Цермело и Френкель построили аксиоматику теории множеств, которая была призвана избавить ее от парадоксов, а заодно и вписать бесконечность в определенные рамки. Некоторое "смущение" в построенную теорию вносила аксиома выбора (многие математики не принимают ее до сих пор), но со временем Гедель и Коэн

стр. 36

показали независимость аксиомы выбора от аксиоматики, т. е. в рамках этой аксиоматики она недоказуема. Проблемой в теории множеств является континуум-гипотеза, которую Кантор безуспешно пытался разрешить, позже Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать ни опровергнуть в теории Цермело-Френкеля. По поводу этих и других парадоксов Д. Гильберт сказал, что парадоксы теории множеств вызваны тем, что математики пользуются недопустимыми понятиями, что и приводит к "чудесам". В 1939 г. немецкий математик-логик Гедель доказал теоремы о неполноте и непротиворечивости формальных систем, утверждающих, что в любой аксиоматической теории есть истинные, но не доказуемые утверждения (континуум-гипотеза - одно из таких утверждений), а теория множеств оказалась неполной и более того непополняемой, т.е. нельзя привести исчерпывающего списка аксиом. Еще один удар по теории множеств нанесла теорема Левингейма - Сколема, утверждающая, что любая система аксиом допускает намного больше интерпретаций, чем предполагалось при ее создании, т. е. аксиомы не устанавливают предела для интерпретаций или моделей, следовательно, математическую реальность невозможно однозначно включить в аксиоматические системы. Одна из причин "побочных" интерпретаций состоит в том, что в каждой аксиоматической системе имеются неопределяемые понятия, раньше считалось, что эти аксиомы неявно определяют эти параметры. Нейман в 1925 г. признал, что на предложенных им и другими авторами системах аксиоматики теории множеств лежит "печать нереальности". Категорической аксиоматизации теории множеств не существует. А поскольку нет ни одной аксиоматической системы для математики, геометрии и т.д., которая не предполагала бы теорию множеств, заведомо не существуют категоричные аксиоматические бесконечные системы. Надо заметить, что позже Гедель показал, что непротиворечивость арифметики можно доказать, пользуясь достаточно надежными конструктивными средствами. Так, теорема о непротиворечивости показала, что не все истинное можно доказать с помощью разума¹ и что эта ограниченность связана с миром, в котором мы живем, и что за этой ограниченностью виден Абсолют.

¹ Кант считал, что математика обладает независимым от логики имманентным содержанием и поэтому никогда не может быть обоснована с позиции одной лишь логики, что и подтвердил Гедель теоремой о неполноте.

стр. 37

Итак, теория бесконечных множеств (так же как и традиционная математика) не решила вопроса о бесконечности, т. е. Кантору и его последователям не удалось, грубо говоря, "ухватить" бесконечность в нашем мире. Известный специалист по теории множеств Вопенка считает, что попытки математиков до конца постичь актуальную бесконечность оказались безуспешными и что существование актуально бесконечных множеств превратилось в догму, в которую верит большинство математиков, хотя, по его мнению, в реальном мире нет ничего, что соответствовало бы этому понятию.

Несмотря на успехи математиков в вопросе о бесконечности, все это не снимало вопроса, присуща ли бесконечность в той или иной форме самой природе или она привносится самим человеком, есть плод ума человека, как считали Декарт, Кант. В разработке философской стороны бесконечности большой вклад внесли Декарт, Кант, Гегель, тем не менее, все они понимали бесконечность как отсутствие границ, и главная проблема, которая занимала их, состояла в том, как оправдать использование идеи бесконечности, если на практике мы всегда имеем дело с конечными величинами (т. е, как связать мир идей с миром, в котором мы живем). Ниже будут приведены взгляды на бесконечность современных философов.

Кратко результаты усилий человечества по "поиску" бесконечности можно свести к следующему: в самой природе нет бесконечностей (Аристотель, Декарт, Кант); бесконечность - это процесс достижения величины, которая меньше наперед заданной (Коши); бесконечность по Кантору - это множество, в котором части могут быть равномощны целому.

В настоящее время понятие бесконечности используется во многих разделах математики. Так, в анализе бесконечно большое и бесконечно малое воспринимаются как "потенциальные". Также и бесконечность натурального ряда или системы всех действительных чисел (континуума) может характеризоваться как потенциальная, т. е. всегда имеется возможность осуществления последующего шага. Точке зрения потенциальной бесконечности противополагается взгляд на бесконечные множества как "актуально" заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях законно такое абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным.

В аналитических и геометрических теориях под бесконечнос-

стр. 38

тью понимают "несобственные" или бесконечно удаленные" элементы (точки, прямые, плоскости), но все эти бесконечно удаленные элементы являются одной из форм проявления актуальной бесконечности. Так, введением точек (+ и - ) числовая прямая R пополняется до компактной расширенной числовой прямой R, гомеоморфной отрезку (взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие между ними).

Несколько слов об абстракции актуальной и потенциальной бесконечностей, взятые из математической энциклопедии. Абстракция актуальной бесконечности - это математическая идеализация, суть которой состоит в отвлечении от принципиальной незавершенности процессов и в равноправном затем рассмотрении результатов воображаемого завершения этих процессов, причем эти результаты начинают восприниматься нашим сознанием в качестве актуальных "готовых" объектов. Применение абстракции актуальной бесконечности позволяет нам считать математическим объектом множество всех натуральных чисел. Абстракция потенциальной бесконечности состоит в отвлечении от возможных пространственных, временных и материальных препятствий к осуществлению очередного шага данного конструктивного процесса и в рассмотрении этого шага как потенциально осуществимого. Применение абстракции потенциальной бесконечности позволяет считать, что к любому натуральному числу может быть прибавлена единица.

Интуиционисты и конструктивисты отказываются от актуально заданных бесконечных множеств, объектами их исследований являются конечные множества конструктивных объектов (в частности, свободно становящиеся последовательности) и в силу этого отвергают ряд установок теории множеств - закон исключения третьего и др. Также и математическая логика, из которой вышли интуиционизм и конструктивная математика и которая свое отношение к бесконечности обозначила в 1963 г. в созданном Робинсоном нестандартном анализе, где бесконечно малая величина по определению есть постоянная (гипердействительное число, расположившееся между двумя соседними действительными числами), а не переменная величина, предел которой равен нулю - как в стандартном анализе. Поэтому-то с точки зрения нестандартного анализа и нет проблемы бесконечности. Вопрос же о действительности действительных чисел рассматривал Р. Пенроуз в книге "Новый ум Короля" (о возможности вставки между двумя действительными числами еще одного числа и т. д. и будут ли эти числа

стр. 39

действительными числами, и будут ли они отражать физическую реальность).

Рассмотрим конкретные случаи появления бесконечностей.

С точки зрения математики (а это основной инструмент физиков-теоретиков) бесконечности случаются в случае деления числа на нуль. С точки зрения физики это означает, что какой-то параметр принял значение нуль. Но как показывают исследования ученых, мир дискретен (свойства элементарных частиц - заряд, магнитный момент, четность и др. обладают определенным дискретным значением); физики "докопались" до последних квантов пространства и времени, и несмотря на то, что эти величины малы, но они конечны. Да и с точки зрения физики параметры принципиально не могут принимать значения нуль, и в природе нет таких параметров, которые бы принимали значение нуль, иначе существовали бы невидимки, которые и не измерить и не вычислить. Из этого можно сделать вывод, что в физике нет бесконечностей. Гипотеза о бесконечной делимости в физике не проходит. С точки зрения математики она не бесспорна (см. апории Зенона и историю этого вопроса). Идея бесконечной делимости пространства была постулирована математиками и введена в физику, т. е. бесконечная делимость является понятием математическим, а не физическими. Гейзенберг, понимая такую ситуацию, одним из первых выделил наименьшее пространственное расстояние, за пределами которого представление о пространстве лишалось физического смысла. Понятие точки является математическим понятием, идеей, и "точке" в нашей голове будет соответствовать интервал в нашем мире. Итак, имеем, с одной стороны, бесконечную делимость, т. е. стремление величины к нулю, но никогда его не достигающую (при делении одна из частей не может пропасть), а с другой, запрет деления на нуль и, самое главное, нет четкого и ясного определения бесконечности. Про нуль известно, что он введен в Индии в 875 г. до н. э. и определен как цифра в записи числа, означающая отсутствие единиц в данном разряде. Так, исходя из определения нуля, следует, что он не несет и не может нести никакой количественной оценки параметра, что он всего лишь указывает на отсутствие параметра.

Уяснив, что бесконечности, которые случаются у физиков-теоретиков, имеют место, грубо говоря, от деления "количества на качество", я говорю, что бесконечность (если оставаться в рамках принятой терминологии) - это процесс, связанный с исчерпаемостью (до последнего кванта) или с достижением параметром поро-

стр. 40

гового значения, после чего этот параметр больше не определяет ход процесса, его как бы больше нет, "он равен нулю". Т.е., имеем переход количества в качество [5] и конечное и бесконечное разведены и границей этого раздела является завершенность процесса. С точки зрения термодинамики это означает, что энтропия достигла максимального значения, так как в системе все завершилось и упорядочилось. В подтверждение такой гипотезы сошлюсь на Генцена, который считал, что бесконечная совокупность чисел преодолевается посредством одной идеи, как, например, совокупностью всех чисел, меньших, чем 0,2, и что такая схваченная одной идеей бесконечная совокупность оказывается как бы исчерпанной. Маркс в математических рукописях показал, что в обосновании исчисления бесконечно малых нуль в нем является не абстрактным "ничто", а каждый раз конкретным отрицанием данного процесса, данной функции.

Из предлагаемого определения бесконечности и того, что в природе нет параметров, величины которых равны нулю, следует, что мы не вправе пользоваться шкалами с нулем, так как это не соответствует действительности. Но раз это так есть, то надо соответственно интерпретировать получаемые результаты. Так как деление на нуль запрещено, с точки зрения процессов (процессы могут быть как чисто активными, реактивными и смешанными, примером может служить колебательный контур - на резонансной частоте его сопротивление чисто активное, на других частотах оно реактивное или смешанное), отсутствие действительной части не означает, что процесса нет: он может находиться в реактивной области и оказывать влияние на более глобальный процесс и наоборот. Дробь A/x при x=0 (для процессов, принимающих целочисленные значения) будет равно А. Математическое обоснование приведено в приложении. В общем же случае при приближении "x" к нулю в выражении A/x значение функции может сколь угодно большим, и скачок функции в точке x = 0 указывает на то, что процесс закончился.

Интересно следствие из этой гипотезы для космологии, а точнее, для космологического процесса; как только радиус и средняя плотность вещества в нашей огромной Вселенной достигнут критических значений (станут актуальными бесконечностями), они сразу же перестают нести какую-либо количественную информацию об этих параметрах, а их количественные значения как бы сразу меняются на противоположные - радиус равен нулю, а средняя плотность бесконечности и всю нашу Вселенную в этом случае

стр. 41

можно рассматривать как точку с огромной плотностью, т. е. имеем новый процесс с новым временем в новой системе координат. Предлагаемая гипотеза о бесконечности, примененная к вопросам космологии, полностью согласуется с результатами академика М. А. Маркова в предложенной им теории Макро-микросимметрической Вселенной [12] и свободной от таких трудностей инфляционной Вселенной, как:

- наличие сингулярности в начальный момент во всех вариантах вселенных (открытых, закрытых, плоских);

- большое численное значение лямбда - члена во фридмановской фазе.

Так, Аронов в [4, 8] пишет, что космологические парадоксы являются результатом неправомерной экстраполяции роли гравитационных взаимодействий и соответствующих им свойств пространства и времени на любые пространственно-временные области природы, ибо задолго до достижения тех или иных "критических" величин соответствующие свойства оказываются качественно иными. И там же - гипотеза прерывности пространства и времени, возникшая как отражение некоторых особенностей пространства и времени в микромире, по-видимому, оказывается адекватной действительности далеко за его пределами, в частности, правильно отражает некоторые черты во взаимодействии пространства и времени с гравитационным полем.

Рассмотрим еще один апериодический процесс в колебательном контуре: амплитуда затухает по экспоненте, и теоретически требуется бесконечное время, для того чтобы она затухла до нуля. Здесь мы имеем два бесконечных процесса - по времени (экстенсивная бесконечность) и по амплитуде (интенсивная бесконечность), которые, как мы увидим ниже, связаны между собой. Как только амплитуда (мощность) колебаний в контуре станет равной амплитуде (мощности) теплового шума в контуре, колебательный процесс "растворится" в шумах (его больше не будет), а вместо синусоидального колебания с резонансной частотой и определенной фазой будем иметь белый шум с бесконечным спектром частот и фазой, равномерно распределенной от 0 до 2π. Таким образом, пороговым значением для колебательного процесса является амплитуда (мощность) теплового шума, после чего можно считать, что бесконечности актуализировались и процесс переходит в новое качество с параметрами, противоположными колебательному процессу.

Поместив контур в жидкий гелий (тем самым понизив уровень тепловых шумов), мы можем продлить "жизнь" бесконечностей, но

стр. 42

принципиально это ничего не меняет, и даже остановив движение электронов по контуру (доведя температуру до абсолютного нуля), мы не получим абсолютную бесконечность, так как вместо макропроцесса будем иметь микропроцесс - квантовый осциллятор - нулевые колебания (дрожание) электронов в атомах элементов контура, а в вакууме нулевые колебания порождают виртуальные пары частица-античастица, которые сразу же аннигилируют, т. е. осуществляется переход в виртуальный мир. Итак, получилось:

- потенциальная бесконечность обладает свойствами относительности и за ней имеются еще и еще процессы (в данном случае шумы - хаос), которые являют собой более глобальные процессы;

- абсолютной бесконечности будет соответствовать абсолютный (полный) покой (т.е. бесконечность это покой - покоящаяся система отсчета), каковой по современным воззрениям физиков в исследуемом ими мире нет;

- абсолютная бесконечность - это понятие метафизическое, теологическое, так как оно прямо указывает на покоящийся Абсолют². Заметим, что ньютоновский абсолютный мир проявляется в нашем "относительном" выделенностью инерциальных систем отсчета перед другими системами отсчета или кратко законом инерции; ни СТО ни ОТО не объясняют этого, также при решении уравнений ОТО граничные условия на бесконечности принимают роль абсолютного пространства Ньютона;

- мы не вправе применять термин "бесконечность" для описания явлений в нашем эволюционирующем мире, это атрибут Абсолюта. Так как наш способ мышления носит ярко выраженный абстрактно-рефлектирующий характер, то научные термины и понятия должны иметь минимальную смысловую кодировку, т.е. сохранять изначальный (подсознательный) смысл, поэтому-то и важно вещи называть своими именами, чтобы не вносить путаницу на подсознательном уровне.

Здесь будет уместно привести определения бесконечности и абсолюта современных философов. Так В. И. Свидерский [4, 8] абсолютность отождествляет с бесконечностью, рассматривает ее как вечность, безграничность, несотворимость, неуничтожимость. Однако в отличие от абсолюта бесконечное представляет собой такие

² В Библии говорится, что после сотворения мира Бог посмотрел на него и увидел, что весьма хорошо (т.е. мир был сотворен от начала и до конца - это было законченное творение): и Бог "почил в день седьмой от всех дел Своих, которые делал" (Библия. Гл. 2; 2).

стр. 43

отношения, стороны, моменты предметов, которые характеризуются отсутствием начала и конца и где конец одного предмета означает начала других предметов. Лишь абсолютное в "чистом виде", оторванное от относительного, можно отождествлять с вечным, бесконечным, притом понимаемым метафизически, как равное самому себе, неизменное.

Абсолютизация какого-то конкретного состояния означала бы признание неприменимости закона меры (количество-качество). Формой меры проявления реализации абсолютного в относительном и выступает бесконечность. Последняя констатирует моменты абсолютности в относительном. Следовательно, бесконечность имеет смысл как мера чередования состояний, неограниченности чередований. Но поскольку само чередование состояний возможно только в силу наличия в них чего-то абсолютного, то бесконечность тем самым выступает и мерой проявления, реализации этого абсолютного в относительном, а относительное может выразить абсолютное только в своем бесконечном возникновении и прохождении, в бесконечном чередовании своих состояний.

Рассмотрим пример из химии - реакцию двух веществ A и B, в результате встречи молекул исходных веществ образуется вещество C. Где здесь бесконечность? Так, согласно предлагаемой гипотезе, что бесконечность это процесс (во времени и в объеме) достижения веществом A или B критического (порогового) значения (после чего реакция дальше не идет) или когда одно из исходных веществ полностью прореагировало до последней молекулы, то длительность этой реакции и будет определять искомую бесконечность, так как процесс (встреча и реакция всех молекул состоялась) актуализировался. Если же реакция двухсторонняя (полученное вещество C распадается на исходные A и B), то бесконечность будет определяться длительностью реакции до достижения равновесного состояния.

С теологической точки зрения все то, что не прореагировало и не перешло в новое качество (+ выпало в осадок и - осталось как бы в старом мире), т.е. для них процесс эволюции завершился в данном мире, но осталась возможность реализоваться в глобальном процессе.

Интересен пример из математики, который позволяет видеть всю полноту процесса и дает связь мира математических образов, идей (покоящегося мира - идеального наблюдателя, в котором нет времени и мгновенная скорость распространения сигналов обеспечивает синхронизацию всего и вся и в котором все сосчитано до

стр. 44

последней частицы N и больше этого N ничего нет и быть не может, так как идея охватывает все сразу от начала и до конца) с нашим эволюционирующим миром. Этот пример подводит к пониманию того, что мощность континуума системы будет определяться состоянием покоя, к которому она стремиться. Примером такой системы является выращенный кристалл, и даже при разрезании кристалла в каждой его части будет выполняться теорема о мощности континуума, так как часть будет равномощна целому (что является основным вопросом в теории множеств), но не с количественной, а с качественной точки зрения [6]. Но сначала несколько пояснений.

Известно, что "чистая" (не прикладная) математика предполагает разработку аксиоматики, которая позволила бы описать все явления и процессы в нашем мире. Но мир идей (это наша голова, или что то же - платоновский мир идей), т. е. аксиоматика - это вневременной мир, а мир, в котором мы живем, динамический мир, и все, что в нем происходит, все это связано со временем. В связи с этим имеют место вопросы: что является связующим элементом этих миров и что такое время? На первый вопрос ответ очевиден: это число (производя измерения, мы тем самым актуализируем процесс, переводя его во вневременную область, в "вещь в себе" - в число) либо определенные соотношения параметров в процессах, которые и актуализируют процессы (см. книгу Вайнберга "Первые три минуты"). Заметим, что для различных процессов параметры, определяющие их, могут принимать целочисленные либо рациональные, либо действительные значения в зависимости от характера процесса и его глобальности. Время я определяю как скорость процесса: очевидно, что если скорость протекания процесса равна нулю, то процесса нет (закончился), а это есть актуальная бесконечность, а актуальные бесконечности вне времени. В нашем мире известен только один вневременной процесс - это свет (фотоны), фотон не чувствует времени, он живет вечно и появляется (рождается) сразу как актуальная бесконечность, причем самая маленькая из всех известных нам. Так, скорость света является пределом скоростей процессов, т.е. имеем актуализацию по скорости и дальнейший рост невозможен. Поэтому, складывая скорости двух источников света, имеем всегда в пределе скорость света.

Пример: длина окружности равна диаметру, умноженному на число "π", но число "π" - это иррациональное число, т. е. при любом конечнозначном задании числа "π" мы имеем многогранник, вписанный в окружность, и очевидно, что окружность состоится тогда, когда "π" достигнет полноты (всех знаков - это и будет

стр. 45

соответствовать предельному переходу), т. е., когда произойдет остановка процесса, которая очевидно связана с планковскими величинами - физический мир ограничивает себя (замыкает себя), стремясь к покою.

К идее абсолютности покоя пришел М. А. Марутаев [9] (рассматривая вопрос о гармонии мира) с помощью введенного им качественного обобщения. Его сущность состоит в том, что покой есть частный случай движения, а с другой стороны, каждое движение неотличимо от покоя. Из этого и с учетом предлагаемого решения об актуализации процессов следует, что покой есть предельный случай движения, когда скорость процесса достигает своего предела и остается постоянной ("мгновенной"), т.е. при приближении процесса к своему завершению его скорость увеличивается.

Итак, получается (если оставаться в рамках традиционной терминологии), что актуальная бесконечность относится ко всем типам бесконечностей - это состояние покоя системы или завершенности процесса, и эта актуальная бесконечность представляет собой качественно завершенное состояние - одно целое. Отметим здесь полученные свойства актуальной бесконечности (продукта процесса):

- вневременность с точки зрения внутренней системы отсчета этого продукта (времени нет, так как процесс закончился, а сам продукт существует);

- любая аддитивная добавка к ней не приведет к качественным изменениям, так как структура ее уже достигла своего качественного предела (см. пример с кристаллом) и как следствие: теорема о множестве всех множеств дает класс множеств.

Предлагаемое определение бесконечности позволяет сделать некоторые уточнения видения процессов, рассматриваемых в синергетике, в частности, в вопросе о причине и следствии.

Основное положение статьи в том, что бесконечность - это процесс, ведущий к полному исчерпанию основного параметра, определяющего этот процесс, или достижение этим параметром своего критического значения, что с точки зрения синергетики соответствует устойчивости системы [10], а неустойчивость соответствует процессу, уже достигнувшему своих критических значений. Это хорошо видно (и особенно на осциллографе) на примере колебательного контура. После актуализации процесса возможны два варианта актуализированных бесконечностей - наблюдаемый и ненаблюдаемый: случай с контуром - ненаблюдаемым назовем, но если мы сварим кашу, то она остается ощущаемой нами (до тех пор,

стр. 46

пока мы ее не съели). В этих бесконечностях содержится вся информация о ходе процессов и времени (так сказать, в "законсервированном" виде), а самого процесса нет, и это хорошо видно по осциллографу и не так очевидно в случае с кашей, т. е. необратимость есть следствие актуализации процесса. Так актуальная бесконечность при соответствующей количественной оценке потенциальной дает ей и новое качество.

Чернавский в [11. С. 35] пишет: обычно под причиной понимают начальные условия, которые в соответствии с динамикой системы приводят к результату - следствию, при этом предполагается, что причина и следствия соизмеримы. В неустойчивых процессах ситуация иная - иногда очень маленькая величина приводит к следствию, которое по масштабам несоизмеримо с причиной, и в таких случаях говорят, что причиной явилась неустойчивость, а не маленькое случайное воздействие. При этом происходит сдвиг понятий: в качестве причины фигурирует внутреннее состояние системы, а не внешнее воздействие. Заметим, что здесь речь идет о саморазвивающихся системах, в которых имеет место имманентное развитие, и поэтому завершение процесса (а процесс - это очень крупное явление, которое приводит к маленьким величинам - как говорят в народе, крайности сходятся - и это тот самый случай, когда они сошлись) в этом случае является причиной.

Приведенные примеры согласуются с гипотезой о физической бесконечности как о процессе достижения явлением своих пределов и затем переходом процесса в новое качество с новыми параметрами. По этой же причине снимается и противоречивость актуальной бесконечности (совместное существование конечного и бесконечного), так как при таком решении они разделены, и границей раздела является завершенность процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Комаров В. Н. По следам бесконечности. М., 1974.

2. Бурова И. Н. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. М, 1987.

3. Бурова И. Н. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976.

4. Бесконечность и Вселенная. М., 1969.

5. Философская энциклопедия. Т. 1. М., 1960. С. 330.

6. Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. 1934.

7. Грусицкий А. С. Бесконечность как исчерпаемость // Философские исследования. 2002. N 3 - 4.

стр. 47

8. Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистская космология. Киев, 1965.

9. Марутаев М. Л. О гармонии мира // Вопросы философии. 1994. N 6.

10. Пригожин И. Стенгерс И. Порядок из хаоса. М., 2002.

11. Чернавский Д. С. Синергетика и информация. М., 2004.

12. Марков М. Л. Избранные труды. Т. 2. М., 2000.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Для доказательства утверждения о делении на ноль я воспользуюсь комплексными числами, являющимися обобщением действительных чисел, и к тому же они полностью описывают процессы, имеющие сдвиги по частоте, фазе, времени. Так как мнимая часть числа учитывает отклонение параметра от его действительного значения и как бы говорит о своем неявном присутствии и влиянии на процесс. По сути, любой процесс в нашем мире - это комплексный процесс, ибо все зависит от времени, через которое проявит себя мнимая часть. Для пояснения сошлюсь на пример из радиотехники. Так, характеристическое сопротивление фильтра, чисто активное только на резонансной или центральной частоте, а в пределах полосы пропускания имеет комплексный характер, вне полосы пропускания имеет реактивный (мнимый) характер. Если вычислять аргумент мнимого числа (отношение мнимой к действительной), то мы тоже имеем бесконечность, но мы этой бесконечности ставим в соответствие угол в 90 градусов.

Деление на нуль запрещено, но если мы возьмем отношение (A/0)/ (A/0), то формально получим A/B - конечное число.

Возьмем отношение двух комплексных чисел (a₁+ib₁ )/(a₂ +ib₂) и если a₂=0, то получаем (b₁ /b₂ ) + i(a₁/b₂ ) и при b₂ =1 имеем (b₁+ia₁ ) -комплексное число, модуль которого r=b₁+a₁, т.е. тот же модуль, развернутый на угол, т.е. деление на нуль дает поворот делимого на 90 градусов.

Если a₂=0 и b₁=0, то получим i(a₁/b₂ ) - чисто мнимое число и при (b₂=1) получим ia₁ модуль его равен a₁ т. е., то же число, но развернутое на 90 градусов. (В связи с этим отмечу полезность применения комплексных чисел в экономике и финансах, где процессы имеет существенные задержки во времени.)

В подтверждение полученного сошлюсь на пример из физики - вращение вектора поляризации. Так, при прохождении поляризованного света через поляроиды мы имеем дело с делением (умножением) чисел, у которых действительная часть равна нулю, и комплексная часть адекватно описывает физический процесс вращения вектора поляризации поляроида.

Публикатор:

Постоянная ссылка для научных работ (для цитирования):

Найденный поисковым роботом источник:

Автор(ы) публикации - А. С. ГРУСИЦКИЙ:

Комментарии: