Содержательный анализ логических концепций является важным инструментом логического исследования. Мы прибегнем к нему, чтобы выявить сходства различия двух направлений неклассической логики - паранепротиворечивых и релевантных систем.

Долгое время принято было считать, что релевантные логики и паранепротиворечивые логики не что иное, как различные ветви неклассических логик. И такие характеристики систем, как паранепротиворечивость и релевантность, - понятия одного уровня. Но дальнейшие исследования показали, что это не так, и в современной неклассической логике одним из наиболее популярных направлений исследования оказывается построение логик, являющихся релевантными и в то же время паранепротиворечивыми. О возможности существования таких систем говорится, например, в [1, 2]. Нас заинтересовал вопрос о причинах такого синтеза, в связи с чем в данной статье мы попытаемся прояснить следующие вопросы:

1. Почему современные паранепротиворечивые логики строятся "с оглядкой" именно на релевантные системы? Что такое паранепротиворечивость в современном понимании?

2. Как соотносятся понятия "паранепротиворечивость" и "релевантность"?

Вначале обратимся к терминологии. Релевантными логиками обычно называют системы, удовлетворяющие критерию релевантности Андерсона-Белнапа [3].

Критерий релевантности: Система считается релевантной, если для любой формулы вида А - > В, которая является теоремой, верно, что существует формула р такая, что она содержится и в А,и в В. Синтаксический критерий формулируется так: если А - > В является теоремой, то А была использована в доказательстве В.

Релевантные логики бурно развивались во второй половине XX в., по ним имеется большое количество литературы как за рубежом, так и в нашей стране. Помимо наиболее популярных систем - сильных релевантных логик, так называемых систем

стр. 82

А. Андерсона и Н. Белнапа, R, E и T и их расширений - известно еще немало альтернативных систем, от слабых релевантных логик до систем Парри, sieve positions (логика просеивания) и пр. Мы проводим наш анализ, основываясь прежде всего на сильных и слабых релевантных логиках.

Что касается понятия паранепротиворечивости, для него нет единого определения. Обычно к паранепротиворечивым относят противоречивые, но не тривиальные теории. Изначально основной характеристикой паранепротиворечивых логик являлось отсутствие закона непротиворечия. В отличие от термина "паранепротиворечивый", который был введен в 1976 г. на 3-м Латиноамериканском симпозиуме по математической логике М. Квесадо (Miro Quesada), сам вопрос о законе непротиворечия, как характеристическом для некоторой теории, возникал в истории философии и науки не единожды, начиная от Гераклита и вплоть до наших дней. Но до XX в. мысль о том, что, имея противоречие в некоторой теории, с ней еще можно работать, не обсуждалась в научных кругах. Методологическим обоснованием появления идеи паранепротиворечивости в начале XX в. явилось осознание того, что принцип непротиворечия не является универсальным. Свою роль сыграло в этом развитие методологии гуманитарного знания. Однако неуниверсальность закона непротиворечия еще не предполагает принятие за аксиому его отрицания. Только при таком условии возможно построение противоречивых, но не тривиальных систем, какими являются паранепротиворечивые логики.

Позже этим термином стали обозначать целый класс логик. Были и другие названия: диалектическая логика, логика антиномий, но прижился именно термин "паранепротиворечивый". Можно выделить две вехи в подходе к определению сущности паранепротиворечивости. Исторически первыми разработчиками паранепротиворечивых систем были русский логик Н. А. Васильев и польский логик С. Яськовский. Одно из первых определений паранепротиворечивых систем дал Н. да Коста.

1) в логической системе не должна быть верифицируема формула вида  (А&  А) - закон непротиворечия;

из А и  А в общем случае нельзя вывести произвольную формулу Б;

2) должно быть простое расширение до предикатной логики;

стр. 83

3) кроме того, в логике должно содержаться как можно больше классических, или хотя бы интуиционистских, истин [4].

С учетом этих требований было построено множество систем: логики Н. да Косты, трехзначные системы Л. И. Розоноэра, Ф. Асеньо и Д. Тамбурино... Все они имеют ряд специфических особенностей, вытекающих из такого подхода к паранепротиворечивым логикам.

Последний пункт определения оказался слишком сильным, поскольку нельзя одновременно сохранить в системе интуиционистскую импликацию, а следовательно, и позитивный парадокс, и отрицание со свойством контрапозиции. Наличие в системе одновременно позитивного парадокса и контрапозиции позволяет вывести закон непротиворечия. А отсутствие контрапозиции в свою очередь порождает многочисленные споры о том, возможны ли вообще паранепротиворечивые логики, поскольку многие исследователи не признают отрицанием унарный оператор без контрапозиции (дискуссии по этому вопросу есть, например, в [5]). Критика в адрес паранепротиворечивых систем не лишена основания, поскольку в требованиях к отрицанию минимальным условием является наличие контрапозиции и условия введения двойного отрицания. И единственная возможность сохранить паранепротиворечивые системы как класс при таком подходе - это рассматривать их как позитивный фрагмент некой модальной логики с модальным оператором вместо отрицания.

Поэтому мы будем придерживаться более позднего определения паранепротиворечивой логики, введенного Г. Пристом и являющегося сейчас наиболее распространенным [6]. Пусть = - отношение логического следования, тогда для любых формул А и B, { А,  А } = B. Логики, в которых отношение логического следования не обладает этим свойством explosive ¹ , мы будем считать паранепротиворечивыми логиками.

Примечательно, что в данном определении не упоминается закон непротиворечия, речь идет о выводимости. Паранепротиворечивость оказалось целесообразным связать с отсутствием свойства explosive, так как основная задача логических систем -

¹ Термин explosive дословно переводится как "чрезмерный", но поскольку он ранее не использовался в русскоязычной литературе, а также поскольку его перевод не отражает адекватно содержание данного понятия, мы позволим себе оставить этот термин без перевода.

стр. 84

возможность делать выводы. Подобное смещение акцентов явилось первым связующим звеном между релевантными и паранепротиворечивыми системами. Можно считать, что с Г. Приста начинается новое поколение релевантных логик.

Но все же остается незыблемой тенденция считать, что паранепротиворечивость является следствием модификации отрицания. Это результат синтаксического подхода, который предполагает, что закон непротиворечия связан с отрицанием, и изменение свойств отрицания ведет к отказу от закона непротиворечия. Однако, если следовать синтаксическому подходу, изменение свойств импликации также может сделать систему не- explosive. Следовательно, проблема не просто в отрицании, и синтаксический подход оказался недостаточным, чтобы выявить суть паранепротиворечивости. Синтаксически паранепротиворечивость может быть достигнута различными способами.

В релевантных логиках оказалось то, чего не хватало паранепротиворечивым системам - отрицание-инволюция. Кроме того, релевантные системы оказываются не -explosive, что видно уже из самого определения релевантности, а значит, и паранепротиворечивыми. Трактовка паранепротиворечивости через выводимость послужила стимулом к появлению новой разновидности паранепротиворечивых логик: релевантных паранепротиворечивых систем, которые также называются слабыми релевантными логиками.

Поскольку нас интересует в первую очередь содержательная интерпретация терминов, синтаксического анализа интересующих нас понятий оказывается недостаточно для того, чтобы ответить на заданные вопросы. Обратимся к семантическим истокам паранепротиворечивости и релевантности.

В классической логике действуют принципы полноты и непротиворечивости универсума относительно пропозициональной переменной.

7. Условие полноты: относительно произвольной формулы можно утверждать, что в универсуме присутствует либо сама формула, либо ее отрицание. (Семантически: любая формула либо истинна, либо ложна.) В синтаксисе этому условию соответствует закон исключенного третьего ( А А ).

2. Условие непротиворечивости: в универсуме не могут одновременно находиться и формула, и ее отрицание. (Произвольная формула А не может быть одновременно истинной и ложной.)

стр. 85

Простой отказ от этих допущений дает в ряде случаев возможность построить неклассические системы, только лишь доопределив каждый раз условия истинности для связок.

Для паранепротиворечивых логик обязательным условием является отказ от второго принципа. Он автоматически делает не тождественно-истинным закон непротиворечия, тем самым обеспечивая паранепротиворечивость системы в целом. При этом нигде в современной литературе отдельно не оговаривается, обязательно ли в таких системах должен присутствовать закон исключенного третьего, что окажется существенным при обращении к релевантным системам. Таким образом, оказывается, что основное условие, с которым связана паранепротиворечивость систем, это интерпретация нелогических символов.

С понятием релевантности все оказывается менее тривиально. Как уже было сказано, мы остановились на двух видах релевантных систем - сильных релевантных логиках, так называемых системах А. Андерсона и Н. Белнапа, R и E , и на слабых релевантных логиках. В релевантных логиках, как следствие, отсутствуют два онтологических допущения. Принципиальной чертой сильных релевантных систем, дистанцирующей их от всех прочих, является то, что законами таких систем могут быть только формулы, содержащие импликацию. Уже этот факт явственно показывает, что паранепротиворечивые логики не могут оказаться подклассом релевантных систем.

Но взаимосвязь между релевантными и паранепротиворечивыми системами, несомненно, существует. Понятию релевантности оказалось сложнее дать адекватную содержательную интерпретацию. Это пытался сделать, в частности, Е. К. Войшвилло, взяв в качестве меры логического содержания высказывания информацию [7]. Тогда из формулы А выводима В, если и только если логическое содержание А есть часть логического содержания В, т. е. информация А есть часть информации В. В таком подходе есть небольшой недостаток: нет единой системы измерения информации, содержащейся в формуле.

Таким образом, при некотором внешнем сходстве понятия релевантности и паранепротиворечивости оказываются различными по сути. Релевантные логики, в силу своего построения, являются паранепротиворечивыми, поскольку они свободны от онтологических допущений. Паранепротиворечивые логики не будут релевантными, поскольку условие паранепротиворечивости не накладывает ограничений на понятия вывода и имплика-

стр. 86

ции. Иными словами, отказ от требования непротиворечивости предполагает, что система будет паранепротиворечивой подобно тому, как отказ от требования полноты приводит к интуиционистской логике, но отсутствие обоих законов не дает релевантных систем, хотя в таких системах этих законов нет. Но поскольку в современном понимании основной чертой паранепротиворечивых логик оказалась возможность использовать противоречивые суждения в теориях, то отсутствие закона непротиворечия из основного критерия превратилось в следствие, а характеристической чертой стала возможность делать нетривиальные выводы с использованием противоречивых утверждений.

Переосмысление понятия паранепротиворечивости с учетом понятия выводимости позволило соотнести данное понятие именно с релевантностью. Такое смещение акцентов отодвинуло на второй план требования к паранепротиворечивым системам С. Яськовского [8] и Н. да Косты.

Подведем итоги и попытаемся обобщить все сказанное.

Общей тенденцией в определении паранепротиворечивых и релевантных логик является использование понятия выводимости при характеристике систем. Паранепротиворечивость, на наш взгляд, выразима на метатеоретическом уровне, т. е. оказывается онтологическим принципом теории. Паранепротиворечивость является следствием отказа от фундаментального закона непротиворечия, о котором говорилось выше, и попытка ввести паранепротиворечивое отношение выводимости все- таки будет вторичной характеристикой системы, допустимой на синтаксическом уровне. Релевантность же в первую очередь характеризует выводимость и импликацию. В конечном итоге, два этих понятия несравнимы, поскольку они применимы к анализу различных уровней теории и относятся к различным категориям. Но такое разделение не мешает сравнивать сами системы и получать различные интересные следствия, вроде комбинированных паранепротиворечиво-релевантных логик. И наконец, все сказанное может быть использовано в систематизации логических систем, глобальные попытки построения которой пока не увенчались успехом.

-----

1. Awron A. Relevance and paraconsistensy: A new approach // The Journal of Symbolic Logic, 1990, N 2.

2. Brady R. T. Depth relevance of some paraconsistent logics // Studia Logica, 43:5161, 1984.

стр. 87

3. Anderson A.R., Belnap N. D. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975.

4. Costa N. C. A. da. On the theory of inconsistent formal systems // Notre Dame Journal of Formal logic, 15:497 - 510, 1974.

5. Beziau J. -Y. Are paraconsistent negations negations? // Second World congress on Paraconsistency, Juquehu, Brazil, May 2000.

6. Priest G. Logic of paradox // Journal of Philosophical Logic, 8: 219 - 224, 1979.

7. Войшвилло Е. К. Философские и методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

8. Jaskowski S. Rachunek zdari dla systemov dedukcyjnych sprzecznych // Studia Societatis ScientiarumTorunensis, 1, N 5, Sectio A. (Prepositional calculus for contadictory deductive systems // Studia Logica, 24: 143 - 157, 1969).

Постоянный адрес данной публикации: