Предел всему - покой

Рассмотрим апериодический процесс в колебательном контуре. Этот процесс (амплитуда) затухает по экспоненте и теоретически требуется бесконечное время, для того чтобы она затухла до нуля. Но как только амплитуда (мощность) колебаний станет равной мощности теплового шума в контуре, колебательный процесс закончится (его нет с точки зрения собственной системы отсчета), а вместо синусоидального колебания с резонансной частотой и определенной фазой проявится более глобальный процесс - тепловой шум с бесконечным спектром частот и фазой, равномерно распределенной от 0 до 2π. Таким образом, пороговым значением актуализации затухающего колебания является мощность бесконечного множества теплового шума (точнее средняя мощность), которая определяется как:

P = Δf*G(f),

- энергетический спектр электромагнитных флуктуации [1].

Первый член в скобках связан с нулевыми колебаниями, а второй - это энергия черного излучения. В радиодиапазоне hf ≤ kT мощность шума в полосе контура будет равна [2]

Р = 4kΔf (1)

стр. 34
и этот шум, как видно из (1), определяется температурой Т системы и не зависит от времени, т. е. это актуальная бесконечность здесь: к = 1,38 х 10 -23 (дж/гр) - постоянная Больцмана.

Т - абсолютная температура контура (гр) по шкале Кельвина;

Δf - полоса пропускания частот контура (Гц).

Из (1) видно, что мощность множества может принимать непрерывные значения и имеет размерность вт/гр (у Кантора множества только точечные).

Достигнув мощности Р,, процесса затухания больше нет, т.е. он вне времени с точки зрения собственной системы отсчета Мощность Р, будет являться и мощностью континуума (множеством действительных чисел, которые может принять процесс затухания) для процесса затухания. Заметим здесь, что этот тепловой шум является эргодическим процессом [1], он однороден во всей системе и его можно представить рядом Фурье:

где:

и его мощность определяется как

S(ω) = Re2 +Im2 (3)

и для него будет выполняться определение Кантора о бесконечности, так как часть будет равномощна целому, что следует из эргодичности процесса.

Известно, что мощность процесса складывается из потенциальной и кинетической энергий системы, и если процесс записать в комплексном виде, то модулькомплексного процесса дает размах амплитуды процесса, а фаза φ = arctg Im/Re - временную задержку. Синусная (мнимая) часть процесса (2) сдвинута на 90° или, что то же самое, задержана на четверть периода, и в сей момент времени она не оказывает влияние на процесс (находится вне времени, что соответствует актуальной бесконечности) и только через

стр. 35
четверть периода станет активной, т.е. актуальная бесконечность состоит как бы из двух составляющих, одна из которых собственно актуальная бесконечность, а другая - нечто сопутствующее ей: движение, колебания, опережающие ее на четверть периода. Этим и объясняется дуализм (волна-частица) в квантовой механике. Заметим здесь, что волна де Бройля имеет комплексный вид [1]

φ(t) = 2A(Sinω + iCosωt)Sinkx ,

где: - волновой вектор, - круговая частота, h - постоянная Планка, p = mv - импульс частицы, m, v - масса и скорость частицы и отображает актуальную бесконечность (мнимая часть - это собственно актуальная бесконечность-частица, а действительная часть - колебания). Так, импульс частицы равен

Р = mv, (4)

где m и v соответствуют мнимой и действительной частям выражения (2) и в зависимости от соотношения Re и Im частей процесса в большей или меньшей степени будут проявляться волновые или корпускулярные свойства.

И как следует из (4) с учетом (3 и 2), величина импульса - это статистическая величина (которая определяется тепловым шумом) и входит в соотношение неопределенностей Гейзенберга

Δх х Δp ≥ h, (5)

т.е. неопределенность нахождения частицы в данной координате определяется статистической природой импульса частицы.

Поместив контур в жидкий гелий (тем самым понизив уровень тепловых шумов), мы можем продлить "жизнь" бесконечности и получим новое значение мощности множества Р2 и новое значение мощности континуума, но принципиально это ничего не меняет. Даже остановив движение электронов в контуре (т. е. макропроцесс - доведя температуру до абсолютного нуля -273°), мы не получим абсолютную бесконечность, так как вместо макропроцесса будем иметь микропроцесс - квантовый осциллятор - нулевые колебания (дрожание) электронов в атомах элементов контура (т.е. тепловые шумы ограничены вакуумом, системой с минимальной энергией Р3), а в вакууме нулевые колебания порождают виртуаль-

стр. 36
ные пары частица-античастица, которые сразу же аннигилируют, т. е., по сути, попадаем в виртуальный мир.

Как видно из рассмотренного примера, основным параметром, определяющим момент актуализации, являются температура, при прочих равных условиях - разность потенциалов потери в контуре и др. И так получилось, что все электромагнитные (да и механические) процессы идут на фоне более глобальных процессов вакуума и тепловых шумов, т.е. имеется иерархия актуальных бесконечностей. Отметим здесь свойства актуальной бесконечности, которые следуют из рассмотренного примера.

1. Мощность актуальной бесконечности может быть не только точечной (как у Кантора), но принимать и непрерывные (и даже статистические) значения (1) и имеет аналитическое выражение, позволяющее записать ее в виде формулы (2).

2. Актуальная бесконечность - это завершенный процесс, и с точки зрения внутренней системы отсчета он вне времени.

3. Актуальная бесконечность обладает свойствами относительности и за ней имеются еще и еще процессы (в данном случае шумы - вакуум), которые являют собой более глобальные процессы и сразу же по актуализации процесс становиться частью более глобального процесса, т.е. будущим и, таким образом, имеем связь прошлого с будущим, а настоящее есть всего лишь момент взаимодействия процессов.

4. Абсолютной бесконечности будет соответствовать абсолютный (полный) покой (т.е. бесконечность - это покой, покоящаяся система отсчета), каковой по современным воззрениям физиков в исследуемом ими мире нет.

5. Абсолютная бесконечность - понятие метафизическое, теологическое, так как оно прямо указывает на покоящийся Абсолют1. Заметим, что ньютоновский абсолютный мир проявляется в нашем "относительном" выделенностью инерциальных систем отсчета перед другими системами отсчета или кратко законом инерции: ни СТО ни ОТО не объясняют этого - при решении уравнений ОТО граничные условия на бесконечности принимают роль абсолютного пространства Ньютона.

6. Мы не вправе применять термин "бесконечность" - это

1 В Библии говорится, что после сотворения мира Бог посмотрел на него и увидел, что весьма хорошо (т.е. мир был сотворен от начала и до конца - это было законченное творение), после чего Бог почил.

стр. 37
атрибут Абсолюта - для описания явлений в нашем эволюционирующем мире. Так как наш способ мышления носит ярко выраженный абстрактно-рефлектирующий характер, то научные термины и понятия должны иметь минимальную смысловую кодировку, т.е. сохранять изначальный (подсознательный) смысл, поэтому-то и важно вещи называть своими именами, чтобы не вносить путаницу на подсознательном уровне (лучше писать процесс вместо бесконечность).

7. Мощность континуума процесса достигает максимума в момент актуализации процесса (покоя с точки зрения собственной системы отсчета) и для макропроцессов лежит в пределах от 0 до значений, определяемых формулой (1), и находится в пределах изменения температуры T, т.е. каждому процессу соответствует своя мощность континуума.

8. Актуальную бесконечность надо понимать с монадической точки зрения: мы не можем пересчитать все молекулы или атомы и т.д. в сваренной каше, да этого делать и не надо - есть такие понятия, как вес, длина и т. п., которые и отражают количественные характеристики процессов.

Здесь уместно привести определения бесконечности и абсолюта современных философов. Так, В. И. Свидерский [4] абсолютность отождествляет с бесконечностью, рассматривает ее как вечность, безграничность, несотворимость, неуничтожимость. Однако в отличие от абсолюта бесконечное представляет собой такие отношения, стороны, моменты предаетов, которые характеризуются отсутствием начала и конца, где конец одного предмета означает начала других предметов. Лишь абсолютное в "чистом виде", оторванное от относительного, можно отождествлять с вечным, бесконечным, понимаемым метафизически, как равное самому себе, неизменное.

Абсолютизация какого-то конкретного состояния означала бы признание неприменимости закона меры (количество-качество). Формой меры проявления реализации абсолютного в относительном и выступает бесконечность. Последняя констатирует моменты абсолютности в относительном. Следовательно, бесконечность имеет смысл как мера чередования состояний, неограниченности чередований. Но поскольку само чередование состояний возможно только в силу наличия в них чего-то абсолютного, то бесконечность тем самым выступает и мерой проявления, реализации этого абсолютного в относительном, а относительное может выразить абсолютное только в своем бесконечном возникновении и прохождении, в бесконечном чередовании своих состояний.

стр. 38
Физика и бесконечность

С точки зрения математики (а это основной инструмент физиков-теоретиков) бесконечности получаются в случае деления числа на нуль. С точки зрения физики это означает, что какой-то параметр принял значение нуль. Но как показывают исследования ученых, мир дискретен (свойства элементарных частиц - заряд, магнитный момент, четность и др. обладают определенным дискретным значением). Физики "докопались" до последних квантов пространства и времени и несмотря на то, что эти величины малы (10 -33 см. и 10 -44 сек.), они конечны[5]. Да и параметры принципиально не могут принимать значения нуль, и в природе нет таких параметров, которые бы принимали значение нуль, иначе бы в природе существовали невидимки, которые и не измерить, и не вычислить. Из этого можно сделать вывод, что в физике нет бесконечностей. Итак, гипотеза о бесконечной делимости в физике не проходит. Да и с точки зрения математики она не бесспорна (см. апории Зенона и историю этого вопроса). Идея бесконечной делимости пространства была постулирована математиками и введена в физику, т. е. понятие бесконечной делимости является понятием математическим, а не физическим. Гейзенберг, понимая такую ситуацию, одним из первых выделил наименьшее пространственное расстояние, за пределами которого представление о пространстве лишается физического смысла. Также и понятие точки является математическим понятием, идеей (а я сказал бы "от лукавого", так как это та самая невидимка, которая не имеет ни размера и вообще ничего, за что можно было бы "ухватить" ее в нашем мире - она есть и в то же время ее нет, т.е. чистая мистика), а идея - она вне времени и вне нашего мира. В нашем мире точке в голове будет соответствовать интервал, т. е. точка размазывается во времени (у нее появляется своя мировая линия).

Итак, имеем, с одной стороны, бесконечную делимость, т. е. стремление величины к нулю, но никогда не достигаемого (так как при делении одна из частей не может пропасть), а с другой, запрет деления на нуль (несмотря на то, что в природе нет нуля). И самое главное, нет четкого и ясного определения бесконечности. Про нуль известно, что он введен в Индии в 875 г. до н. э. и определен как цифра в записи числа, означающая отсутствие единиц в данном разряде. Так, исходя из определения нуля, следует, что он не несет и не может нести никакой количественной оценки параметров, что он всего лишь указывает на отсутствие параметра.

стр. 39
Уяснив, что бесконечности, которые случаются у физиков-теоретиков, имеют место, грубо говоря, от деления "количества на качество", я говорю, что бесконечность (если оставаться в рамках принятой терминологии) - это процесс, связанный с исчерпаемостью (до последнего кванта) или с достижением параметром порогового значения [6], после чего этот параметр больше не определяет ход процесса, его как бы больше нет, "он равен нулю", т. е. потенциальная бесконечность становится актуальной и закрывает-отрицает потенциальную, и ее больше нет в старом качестве, и процесс, реакция переходят в новое качество, т. е. имеем переход количества в качество [7] и конечное и бесконечное разведены, а границей является завершенность процесса. В подтверждение такой гипотезы сошлюсь на Генцена [8], который считал, что бесконечная совокупность чисел преодолевается посредством одной идеи, как, например, совокупностью всех чисел, меньших, чем 0,2, и что такая схваченная одной идеей бесконечная совокупность оказывается как бы исчерпанной. Маркс в математических рукописях показал, что в обосновании исчисления бесконечно малых нуль является не абстрактным "ничто", а каждый раз конкретным отрицанием данного процесса, данной функции.

Сознание и физическая реальность

Известно, что "чистая" (не прикладная) математика со времен Кантора работает с формальными системами и предполагает разработку аксиоматики, которая позволила бы описать все явления и процессы в нашем мире. Но в мире идей нет времени, т.е. это вневременной мир, покоящийся, где мгновенная скорость распространения сигналов обеспечивает мгновенную синхронизацию всего и вся (так как идея охватывает все и сразу) и в которой все сосчитано до последнего N и больше этого N ничего нет и быть не может. Так, космологический процесс начал развиваться из четко установленного наукой состояния с плотностью, равной 1093 гр/см3, и все, что мы сейчас имеем, из этого числа и больше ничего быть не может.

Итак, мир идей - это вневременной мир, а мир, в котором мы живем, динамический мир, и все, что в нем происходит, связано со временем. Что связывает эти миры и что такое время? На первый вопрос ответ очевиден - это число (производя измерения, мы тем самым актуализируем процесс, переводя его во вневременную область, в "вещь в себе" - в число) либо определенные соотношения

стр. 40
параметров, которые и актуализируют процессы [9]. Заметим, что для различных процессов параметры, определяющие их, могут принимать целочисленные либо рациональные, либо действительные значения в зависимости от характера процесса и его глобальности. Время я определяю как скорость процесса2. Р. Фейнман [10. Т. 1. С. 303] пишет, что время равнозначно пространству, время становится пространством и их надо измерять в одних единицах. Так, 1 сек. равна 3 х 108 метра и 1 м. равен 0.33 х 108 сек. Откуда следует, что время как скорость процесса можно определить как ΔS/m, где ΔS - изменение состояния системы или основного параметра, который определяет ход процесса, а m - расстояние, пройденное системой. Очевидно, что если скорость протекания процесса равна нулю, то процесса нет (закончился), а это есть актуальная бесконечность, а актуальные бесконечности - вне времени. Всем известен вневременной процесс - свет. Фотон не чувствует времени, он живет вечно и появляется (рождается) сразу как актуальная бесконечность, причем самая маленькая из всех известных нам.

Интересен пример из математики, позволяющий видеть всю полноту процесса и дающий связь мира математических образов, идей с нашим эволюционирующим миром. Пример подводит к пониманию того, что мощность континуума системы будет определяться состоянием покоя, к которому стремится система (см. пример с колебательным контуром). Другим примером такой системы является выращенный кристалл, даже при разрезании кристалла каждая его часть будет равномощна целому (что является основным вопросом в теории множеств), но не с количественной, а с качественной точки зрения [11], т.е. теория множеств - это качественная теория, а не количественная, к арифметика теории множеств - это арифметика с качественными характеристиками в отличие от традиционной арифметики.

Итак, пример: длина окружности равна диаметру, умноженному на число π, но число π - это иррациональное число, т. е. при любом конечнозначном задании числа π мы имеем многогранник, вписанный в окружность и очевидно, что окружность состоится тогда, когда π достигнет полноты (всех знаков, это и будет соответствовать предельному переходу), т. е, когда произойдет остановка процесса, которая связана с планковскими величинами, т. е. физический мир ограничивает себя (замыкает себя), стремясь

2 Время в ОТО может течь по разному в разных точках пространства.

стр. 41
к покою. К идее абсолютности покоя пришел М. А. Марутаев [12] (рассматривая вопрос о гармонии мира) с помощью введенного им качественного обобщения. Сущность этого обобщения состоит в том, что покой есть частный случай движения, а с другой стороны, каждое движение неотличимо от покоя. Из этого и с учетом предлагаемого решения об актуализации процессов следует, что покой - это предельный случай движения, когда скорость процесса достигает своего предела и остается постоянной ("мгновенной"), этим и объясняется "выделенность инерциальных систем" в нашем мире - их актуальностью, т.е. завершенностью. Так, скорость света является пределом, т.е. имеем актуализацию по скорости, поэтому, складывая скорости двух источников света, имеем V1св. + V2св. = Vсв. или, что то же самое, если к фотону добавить фотон, скорость света при этом не изменится, так как фотон - это актуальная бесконечность.

Итак, получается (если оставаться в рамках традиционной терминологии), что актуальная бесконечность - это состояние покоя системы или завершенности процесса, и эта актуальная бесконечность представляет собой качественно завершенное состояние - континуум, одно целое непрерывное (пример, выращенный кристалл). Отметим здесь еще раз основные свойства актуальной бесконечности.

1. Вневременность с точки зрения внутренней системы отсчета актуальной бесконечности (времени нет, так как процесс закончился, а сам продукт актуализации существует), и как следствие - выполнение законов симметрии в актуализированных системах.

2. Любое действие (добавление, вычитание) с актуальной бесконечностью не приведет к качественным изменениям, так как структура ее уже достигла своего качественного предела (см. пример с кристаллом), поэтому-то может и не всегда работает теорема выбора.

Кантор декларировал соответствие его трасфинитов иррациональным числам [13], я же хочу здесь отметить аналогичность аналитических выражений для электрического и механического резонансов в макромире и иррациональных чисел. Так, первое иррациональное число, которое было обнаружено греками, это квадратный корень из двойки (отношение диагонали квадрата к его стороне). Двойка под корнем - это два множества, сумма двух сторон квадрата 1+1. Резонансная частота механической или электрической системы тоже определяется квадратным корнем из двух множеств (m/k) для механической системы и (LC) для электри-

стр. 42
ческой системы, и на этих резонансах состояние системы (сигнал) стремится к бесконечности, как и иррациональные числа.

Фейнман пишет, что в природе часто что-нибудь "колеблется" и также часто случаются резонансы, т.е. наш мир можно рассматривать как систему с частотной характеристикой H(jω), в которой имеется множество упорядоченных от 1 до N резонансных частот ωn, которые я соотношу с ординалами Кантора, а "продукт" - результат резонанса соотношу с кардиналами. Известно, что частотные характеристики при аппроксимации дробно-рациональными функциями имеют вид

Каждый полюс pn дает фильтр на определенной частоте, и набор таких фильтров обеспечивает частотную характеристику за счет скатов частотных характеристик отдельных фильтров. В таком фильтре частоты, точно соответствующие значениям полюсов pn, будут резонансными, а сопротивления на них - чисто активными. А на скатах сопротивление реактивное, и фазовая характеристика фильтра будет давать задержку, которую я соотношу с вневременностью актуальной бесконечности, т.е. мнимая часть - это кардиналы и выражают количественные характеристики - величины (вес, размер и т. д.) актуальных бесконечностей. Множество резонансных частот выражают порядковые числа - это к вопросу о числе и величине.

Любой процесс в нашем мире является комплексным, его можно представить рядом Фурье. Чисто активный процесс - это резонанс. Так, имея в виду выражения ( 1) и (2) и свойства актуальной бесконечности, я полагаю, что синусные составляющие процессов соответствуют кардиналам Кантора. Однозначно соответствующие им ординалы находятся на прямой у = х, т. е. ординалы и кардиналы Кантора можно уподобить действительной и мнимой частям комплексных процессов.

Взаимодействие процессов (в частотной области) можно записать как произведение частотной характеристики одного процесса на спектр другого.

Sвых (jω) = H(jω) Sвх (jω), (7)

или как свертку импульсной характеристики одной системы на сигнал другой

стр. 43

где Sвых(T), Sвых(jω), Sвх(t), Sвых(T) - спектры и временные последовательности входного и выходного процессов.

H(jω), h(T-t) - частотная и импульсная характеристики системы, поэтому при взаимодействии процессов деление на нуль не может случиться принципиально. Деление на нуль указывает на то, что параметр процесса либо исчерпал себя до нуля или достиг своего критического значения. Этот процесс завершился, и если при делении делитель имеет только мнимую составляющую, то процесс в числителе будет задержан на время t или, что то же самое, вектор процесса повернется на угол φ (есть яблоко, но некому его отдать, но со временем кто-то найдется или оно сгниет). В подтверждение полученного сошлюсь на пример из физики - вращение вектора поляризации поляроидами. Так, при прохождении поляризованного света через поляроиды мы имеем дело с делением (умножением) чисел, у которых действительная часть равна нулю и комплексная часть адекватно описывает физический процесс вращения вектора поляризации.

Понятие бесконечности является ключевым в науке и, в частности, в математике. Так, Веерштрас сказал, что математика - наука о бесконечности, и он имел право сказать это, так как все три кризиса в математике связаны с понятием бесконечности. До того, как Коши дал строгое определение бесконечности, оно имело интуитивный характер. У древних греков это было учение об "алейроне", затем учение Пифагора, апории Зенона. 3 более близкое нам время основоположники дифференциального исчисления Ньютон и Лейбниц в своих работах не использовали термин и символ бесконечности (который ввел Эйлер 100 лет спустя). Они говорили о малых приращениях аргумента и функции.

Из определения бесконечности, которое дал Коши - бесконечно малая величина, это переменная, предел которой равен нулю, никак не следует, куда пропадает одна из половин при делении пополам, т.е. это чисто абстрактное и, более того, метафизическое определение, так как связано оно с исчезновением одной из половинок числа. В XIX в. Кантор пытался найти решение с другой стороны числовой оси с помощью введенных им актуальных бесконечных множеств. Определение бесконечности по Кантору - это равномощность части целому. Но эта равномощность, как выяснилось.

стр. 44
возможна только с качественной точки зрения. Пример такой бесконечности, который приводят сторонники теории множеств, это равномощность четных чисел ряду натуральных чисел. При этом полагается, что бесконечность берется вся и сразу, но как видно из полученного бесконечность есть состояние покоя системы, в которой все фиксировано (и сама теория множеств работает только с актуальными, завершенными, бесконечностями), и в этом случае мощность четных чисел в два раза меньше мощности ряда натуральных чисел - определение бесконечности не выполняется. Получилось, что канторовские актуальные бесконечности не решают проблему бесконечности (это же следует и из слов самого Кантора, что актуальная бесконечность - это вещь для себя, которая никогда не станет вещью для нас), а задают лишь вектор на покоящийся и бесконечный Абсолют.

Такой взгляд математика, который видит и мыслит происходящее в мире как взаимодействие совокупностей (пусть чисто символически) и игнорирует отдельные элементы в ней, соответствует взгляду "математика-импрессиониста" по аналогии с импрессионистами в искусстве, которые появились примерно в то же время, что и теория множеств. И такая математика явилась качественно новым инструментом, так теория множеств дала возможность по новому объяснить некоторые области математики и развить их на этой основе (топология, проективная геометрия, теория комплексных чисел и др.), оказалась удобным языком для математики, который позволил в компактном виде вести записи математических выражений и преобразований. Поиски, направленные на разрешение парадоксов теории множеств, привели к доказательству таких фундаментальных теорем, как теоремы о неполноте и непротиворечивости аксиоматических систем, теоремы Левингейма-Сколема и других. Несмотря на впечатляющие результаты, полученные теорией Кантора, вопроса о бесконечности она не решила, и в физических и в технических приложениях, где появляются бесконечности, исследователи и по сей день используют теорию пределов Коши, т. е. пользуются дифференциальным исчислением как методом, при этом не вдаваясь в его суть.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика.

2. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.

3. Мигдал А. Б. Квантовая физика // Квант. 1989. Выпуск 75.

стр. 45
4. Философские проблемы теории тяготения Эйнштейна и релятивистская космология. Киев, 1965.

5. Зельдович Я. Б., Хлопов М. Ю.. Драма идей в познании природы // Квант. Выпуск 67.

6. Грусицкш А. С. Бесконечность как исчерпаемость // Философские исследования. 2002. N 3 - 4.

7. Философская энциклопедия. Т. 1. М., 1960. С. 330.

8. Бурова И. Л. Парадоксы теории множеств и диалектика. М., 1976.

9. Хокиш С. Краткая история времени. С.-Пб., 2001.

10. Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1, 2. М., 1977.

11. Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. 1934.

12. Марутаев М. Л. О гармонии мира // Вопросы философии. 1994. N6.

13. Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным. М., 1999.

Постоянный адрес данной публикации: