В настоящее время загадкой является приложимость к действительности теорий математики, которая развивается в собственной сфере структур, не получая, как кажется, информации для своего развития из действительности. Н. Бурбаки говорит, что "между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь ... но нам совершенно не известны глубокие причины этого ... и может быть мы их никогда не узнаем" [1. С. 174]. С некоторого времени математика развивается как чистая, т.е. не зависимая явно от действительности, в нее не поступают сознаваемые абстрактные содержания действительности.

Математика как абстрактная теоретическая наука сформировалась в Греции в VI в. до н.э. после образования понятия числа, элементарных идеальностей (точка, прямая, плоскость) и фигуры в геометрии [2. С. 33]. В XIX в. чистая математика обособилась от прикладной как особая отрасль науки. Создался такой уровень абстрактности, при котором математика способна развиваться в собственной автономной сфере структур, и однако вырабатывает теории, которые оказываются приложимыми к различным явлениям действительности и подчас с поражающей эффективностью. Таковы теория групп, учение о метрических пространствах, топология, линейные пространства, теория множеств [3. С. 40]. Так, в ядерной физике к 60 - 70-м годам XX в. в экспериментах было открыто множество элементарных частиц, относительно которых неизвестно было, для чего они существуют. При этом давались такие характеристики использования математических методов: "Теория групп великолепно выделяет те объекты природы, которые могут быть поняты, когда используется язык только абстрактной симметрии,

но не дает возможность осмыслить разнообразные численные значения времени жизни частиц и интенсивности их взаимодействия, по которым накоплено огромное число экспериментальных данных, ожидающих своего объяснения" [4. С. 126]. "Позднее с помощью кварков удалось навести порядок в многочисленном семействе адронов, распределив их в группы частиц, называемых мультиплетами ... кроме опытных данных в этом случае использовали специальный математический аппарат теории групп" [5. С. 11].

Чтобы объяснить широкий охват действительности математикой отмечают, "что по сравнению с естествознанием в математике процесс абстрагирования идет значительно дальше. В известной смысле справедливо утверждать, что где естествознание останавливается, математическое иисследование только начинается" [2. С. 40]. Но дело, по-видимому, не только в уровне абстракции, но и в том, что математика предлагает иное содержание, которое является активным действием познающего разума. Теоретические действия разума, выделяющие особенности действительности, накладывают отпечаток на особенности содержания познания. Дело в том, что познание человека не является абсолютно объективным, так как оно создается в жизни людей ради этой жизни. Ученый выходит на познаваемую природу через процесс жизни в обществе.

Не абсолютно объективно уже обыденное познание, характеризующееся непосредственным восериятием действительности. Непосредственное восприятие изначально происходит с ограниченной объективностью, выражает только макроскопическую часть действительности. Для субъекта действительность выступает в виде отграниченных макровещей, соизмеримых с макродействиями субъекта. Человек, для которого характерна макродеятельность и макродействия, непосредственно включен в действительность ограниченно, в ее макроструктурную часть. Если бы он действовал нолями или химическими реактивами, действительность не являлось бы для него макроограниченной. Мы воспринимаем действительность как обособленные предметы, физические, не сплошные поверхности которых заменяем сплошными поверхностями ощущений. Ощущаемые поверхности предмета выступают реальными и объективными, поскольку мы можем действовать с ними. Реальность и объективность и состоит в чувствовании присущих субъекту возможностей непосредственных действий с предметами. Взаимодействие отграниченных макротел выступает в виде непосредственных механических взаимодействий (взаимной непроницаемости, нажатий, давлений, ударов), которые

определяются скрытыми от восприятия субъекта внутренними микровзаимодействиями в телах. Реальность непосредственного воспринимаемого предмета конституируется самим восприятием. Мы воспринимаем реальность предмета как чувствование возможности множества механических действий с ним (касаний, нажатий, захватов). Реальный предмет дан в нашем восприятии как предмет наших действий с ним.

На содержание действительности также накладывает свои особенности теория, которая имеет дело с невосиринимаемыми явлениями (микромир, процессы в звездах и галактиках) и прорывает уровень непосредственного восприятия. Здесь важную роль играет математика, развитие которой состоит в развитии структур, и поскольку эти структуры есть результат действия разума, они налагают отпечатки на познание действительности математикой. Говорят: "для математической мысли характерно, что она не выражает истину о внешнем мире и связана исключительно с умственными построениями" [2. С. 249]. Математика действительно есть умственные построения, но они представляют собой систему математического разума с включенными в него содержательностями, создающимися действиями разума и подходящими в конечном итоге к разным явлениям и сферам действительности.

Для математической теории характерен выход за пределы разных определенных содержаний, путем использования их как предметов единой математической теории. Множество разных содержательностей может отвечать общим аксиомам теории. В математике имеется теория метрических пространств. Говорят: "метрическое пространство - это наиболее общая модель, основанная на идее расстояния" [3. С. 45]. Но расстояние не всегда понимается в обычном значении этого слова: в теории, в частности, рассматривается расстояние между функциями. Но расстояние между функциями, как и расстояние между точками и любыми другими объектами, отвечает аксиомам метрического пространства. В теории групп группа представляет собой множество, в котором задана операция сопоставлений двух элементов, а также система аксиом, которым подчиняется группа. Особенность является широкий набор смыслов операций сопоставления, различающих группы. Имеется группа действия над числами, группы самосовмещений фигур, группы подстановок, группы движений, которые дают возможность классифицировать различные геометрии, группы Лоренца в теории отновительности, групповой подход в ядерной физике, в кристаллографии [1. С. 72]. Операции сопоставления в этих случаях

совершенно различны, они имеют разные собственные механизмы, однако математика под все эти операции подставляет одни и те же аксиомы, истолковывает разные операции как предметы единой теории групп. Подчиненность разных смыслов общим аксиомам и теоремам является, по-видимому, основой содержательности математических теорий, которые обрисовывают определенный общий аспект действительности.

Такое наложение математических особенностей на содержание действительности является углублением познания и неизбежно вызывается самой действительностью. В математике нет единства содержания. Как указывает Бурбаки, общее представление в математической науке "наталкиваете на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала" [3]. Но в математике есть единство, состоящее в создании математических структур, которые коренятся в особенностях работы мозга математиков. Разнообразие и отсутствие единства содержания математики говорит о том, что оно вызывается обширностью и разнообразием действительности, которая рождает математиков. Действительность не непосредственно отражается математикой, а опосредовано - через создание и развитие (действительностью) мозга математиков. Можно предположить, что развитие математики включает два фактора.

1. Неосознаваемое, преобразование действительностью мозга математика, вызывающее предрасположение к восприятию математики и творчеству. Это воздействие на мозг происходит не в виде осознаваемого содержания, а в виде изменения структуры мозга в процессах жизни субъекта в природе и обществе. Имеется мнение, что мозг субъекта воспринимает все воздействия, но осознается малая доля их. Открытие в математике происходит через преобразование действительностью внутреннего материального смыслового наполнения субъекта. Это преобразование обычно неосознаваемо, что проявляется в характере творчества, по-существу независимого от субъекта. При математическом творчестве замысел решения, совместно с чувствованием его верности, возникает тогда, когда субъект не думает о проблеме, и содержание замысла может не соответствовать мыслям, возникающим при интенсивной сознательной работе над проблемой [6. С. 314]. Творчество нового в математике происходит часто в виде взаимоотношения уже известных ее областей.

2. Развитие субъекта за счет его включения в объективно существующую и развивающуюся математику, которая выступает в

виде текста, находящегося в обществе, и вызывает определенную сознательную умственную работу субъекта. В своем развитии математика выступает как внешняя по отношению к субъекту сфера текста. Мы будем говорить о текстовой стороне математики условно, ибо текст как фактор математики существует не сам по себе (в виде материальных символов), а в связи с включением в текст понимающих математиков. Математики подключены к тексту при получении образования, при своей математической деятельности отдельные математики могут вносить в текст изменения. Текст, помимо своей содержательности, выступает как инструмент математического мышления, он вынуждает математиков к определенным действиям по правилам, которые включают логическую правильность.

Существенно, что мозг математика и текст работают как одна система. Математический текст таков, что он подходит к мозгу, настраивает систему смыслов математика, а мозг в свою очередь создает новое под воздействием ситуации математического познания.

Развитие математических структур в ходе познания есть род моделирования процесса развития действительности. Историческое развитие математики порождает в ней новое.

Математика имеет две стороны - внутреннюю и внешнюю, что соответствует двум материальным структурам, в которых происходит ее развитие. Такими структурами являются: 1. Внутреннее материальное смысловое наполнение мозга и тела субъекта и 2. Внешняя (текстовая) структура математики, находящаяся в обществе. Остановимся на этих сторонах.

Внутреннее материальное смысловое наполнение субъекта

Характерным для математики является не частое появление математиков и раннее развитие математических способностей. Пуанкаре говорил, что математиками рождаются [6. С. 159]. Это свидетельствует о том, что математические способности связаны с развитием вещества мозга. Можно сказать, что в человеческое познание, которое кажется существующим лишь в сфере субъективности и осознания, входит процесс познания, который можно назвать материатьным. Мозг, материальное смысловое наполнение субъекта является материальной познающей моделью действительности.

Живые материальные структуры мозга и тела и их системы не являются просто физиологическими, нейтральными, они несут в себе определенное содержание (смыслы), представляющее в кодированном виде типы предметов, их связей и отношений, типы систем и ситуаций, известные субъекту. Процессы в мозге и теле есть то, что называют "бессознательным" в сознании. Эйнштейн говорил, что для него не подлежит сомнению, что наше мышление протекает в основном минуя символы (слова) и к тому же бессознательно.

Внутреннее материальное смысловое наполнение, возникающее в мозге и теле субъекта при его развитии, играет двойную роль. С одной стороны, оно, включая целостного субъекта, является той структурой, в отношении к которой существует субъективная реальность (образы, мысли, чувства), т.е. является основой нашего "Я". С другой стороны, оно, выражаясь наружу (в текстовой форме), выступает в виде этой субъективной реальности, длящейся во времени. Материальное смысловое наполнение обуславливает сознание и понимание субъекта и его активное, т.е. исходящее из собственной структурности, поведение.

Надо сказать, что сложность психического падает не на субъективную сторону, а на материальное смысловое наполнение, на процессы в нем, базирующиеся на процессах жизни мозга и тела, обладающих грандиозной сложностью. Внутреннее материальное наполнение характеризуется непрерывностью и подвижностью. В системе смыслов действия и свойства не отделены от предметов, а предметы не отделены от их общности. Основой осмысленности содержания является подчиненность содержания более общему. Данное действие или предмет обретает определенный смысл в вышележащей системе, в которую он включен. Поэтому материальное смысловое образование, являющееся основой субъективного представления предмета, всегда есть образование, включенное во множество связей и отношений других предметов, находящихся в системе смыслов. Каждый смысл сознаваем и понимаем благодаря погруженности в систему внутренних материальных смысловых структур, связи которой могут иметь неограниченную протяженность, что можно видеть но неограниченной цепи вопросов, которые может задавать ребенок. Это обстоятельство имеет значение для создания математических структур.

В материальной личностно-смысловой системе могут под воздействием целостности субъекта группироваться и выделяться смыслы на определенную тему, может настраиваться, актуализиро-

ваться весьма широкая область определенной общей содержательности. Возникает широкий набор определенных содержательностей, подчиненных общему содержанию, которое может выражаться аксиомами. Отметим, что общее (командное) содержание творческими математиками может чувствоваться в целом. Так, А. Пуанкаре, основываясь на своем опыте, характеризовал математические способности как возможность чувствовать данное доказательство в целом, в результате чего он не может забыть суждения, входящие в доказательство [6. С. 311]. Ж. Адамар писал: "У меня нет ощущения, что я его (доказательство) понял до тех пор, пока я его не почувствовал как единую общую идею" [7. С. 63]. Сложные математические структуры построенные из идеальностей представляют собой целостности, подчиненные целостности субъекта, ибо в материальном смысловом наполнении субъекта всякий предмет находится в связи со всеми другими предметами. Целостность содержания представлена структурой материальной картины того или иного общего содержания или содержания теории. Чувствование общего является констатирующим чувствованием этой картины, состоящее в чувствовании наличия картины без раскрытия ее. Материальная картина общего содержании раскрывается в субъективном логичном содержании, проходящем во времени при понимании.

Творческая мысль в математике использует представления, выходящие за пределы реальности. Так, в математике широко применяется мысль о бесконечном повторении действия, например мысль о бесконечном делении отрезка. Эта мысль не соответствует тому, что реально бесконечное повторение невозможно, или тому, что физики говорят о наличии минимального отрезка пространства. Однако мысль о бесконечном повторении играет большую роль в математических доказательствах. Можно сказать, что эта мысль входит в сам механизм математического мышления. А. Пуанкаре, рассуждая о доказательстве но полной индукции, отнес возможность мысленного повторения к проявлению могущества разума [6. С. 18]. В природе нет стабильных абсолютно равных отрезков, углов и др. Их идеальное равенство есть допущение нашего разума, обеспечивающее возможность доказывать положения о площадях и объемах фигур в геометрии.

Изображение содержания через идеальные (мыслимые) математические структуры является особенностью математики. В геометрии идеальности служат изображению пространства, которое строится из элементарных идеальностей (точка, прямая, плоскость), являющимися мысленными пределами. Подобные идеальности

используются и в других науках. Так, предельные абстракции отдельных сторон предмета, такие как абсолютно твердое тело, идеальный газ, абсолютно черное тело и др. служат приложению идеальностей математической теории к предметам действительности. В математике развитие идеальностей составляет особую самосуществующую сферу.

Элементарные идеальности не существуют в действительности, они непосредственно производятся мышлением и представлением субъекта. В материальном смысловом наполнении субъекта точки отражаются как не имеющие размеров, прямые как имеющие нулевое сечение и абсолютную прямизну, плоскости как имеющие нулевую толщину и абсолютную плоскостность. В соответствии с этим материальное смысловое наполнение субъекта обеспечивает минимум простых необходимых соотношений между идеальностями: через две точки можно провести только одну прямую, прямая пересекает плоскость только в одной точке, а лежит в ней всеми точками. Это позволяет строить более сложные фигуры, которые являются определенным приближением к реальным предметам, некоторым осреднением действительных предметов. Элементарные идеальности в геометрии имеют значение не сами по себе, а как составляющие более сложных структур. Можно сказать, что они создаются структурами, в которые они входят, что обеспечивается смысловыми образованиями, возникающими во внутреннем материальном смысловом наполнении математика.

Структуры в геометрии являются схематическим изображением пространства. Подобно этому математические "стандартные" зависимости (степенные, тригонометрические, экспоненциальные и др.), входящие в решения дифференциальных уравнений, "гладки" и, строго говоря, не соответствуют зависимостям в действительности, но с большой степенью приближения могут количественно отражать ее.

Существенно, что когда мы рассматриваем идеальности в геометрии, то мы воспринимаем их в рисунках, в обличии реальных точек, прямых, плоскостей, фигур и тел. Но в материальной системе смыслов математика они не таковы, там находятся схемы подобные понятиям, выражающим всеобщность. Идеальный треугольник, заключенный в материальной системе смыслов субъекта, обладает всеобщностью, он представляет необходимые свойства и связи всех треугольников. Поэтому все фигуры и тела, исполняемые в рисунках школьной геометрии, представляющие (обозначающие) идеальные фигуры и тела, имеют всеобщность. Доказательство

(например, о сумме углов), произведенное по индивидуальному рисунку треугольника, верно для всех треугольников вообще.

Наработанные математикой идеальности находят свое место в ходе исторического развития познания. Так, кривые второго порядка, открытые в древности как конические сечения (эллипс, парабола, гипербола), в новое время использовались для описания орбит небесных тел. М. Борн отмечал, что Кеплер не смог бы открыть свои законы, если бы знал движение небесных тел так же подробно, как в наши дни [8].

Важно, что логичность, связность, доказательность всегда конкретно содержательна. Так, в школьной геометрии логика, а точнее, логичность определяется содержательностью, а не привнесенной логикой. Эта логичность состоит в последовательном изложении текста, определяемом его содержанием. Такова логичность математики, физики, биологии и др. Такое содержание отсутствует в обобщающих законах излагаемых наукой логикой. Возьмем логический закон: если из Л следует В, а из В следует С, то из А следует С. Здесь отсутствует главное: как из одного следует другое. Это главное состоит в реальном мышлении определенного содержания, что характерно для содержательности математики, "наполняющей" общие аксиомы.

Чистая математика откладывает отпечаток на строгую аксиоматизацию геометрии. Особенностью строгой аксиоматизации геометрии является то, что она вносит в содержание логику, отличную от содержательной логичности, строится как логическая система, безразличная к определенной содержательности. При построении аксиоматической системы назначаются основные объекты в виде слов "точка", "прямая", "плоскость" и основные отношения ("инцидентность", "между", "движение"), определения (отрезок, треугольник и др.) и системы аксиом. В аксиомах указываются связи между основными объектами и основными отношениями. Теоремы доказываются исходя из аксиом и предыдущих теорем. Следования при доказательствах определяются следованиями, заключенными в аксиомах, их логическими соотношениями. Построенная аксиоматизированная система может рассматриваться как не требующая наглядных геометрических представлений. Она выступает как система чисто логических связей между основными объектами и основными отношениями. Говорят, что под содержанием этих понятий "можно подразумевать что угодно, требуется только, чтобы они удовлетворяли соответствующей системе аксиом" [9. С. 42].

Строгая аксиоматизированная система по существу исключает

пространство из геометрии. Это нравится не всем математикам. В. И. Арнольд пишет: "В середине двадцатого века сильная мафия левополушарных математиков сумела исключить геометрию из математического образования... заменив всю содержательную математику тренировкой в формальном манипулировании абстрактными понятиями" (Известия от 23 февраля 1999 г.).

Важно отметить, что строгая аксиоматическая система по-существу не является бессодержательной чисто логической системой. Прежде всего, она обладает общей содержательностью. Основные понятия есть не просто материальные слова, не имеющие никакого значения. Они делятся на основные объекты и основные отношения, которые несколько конкретизируются группировкой аксиом. "Инцидентность" связана с группой аксиом сочетания, "между" - с группой аксиом порядка, "движение" - с группой аксиом движения. Но помимо общего содержания аксиоматической системе геометрии свойственно определенное конкретное содержание. Это содержание школьной геометрии, которая доказательна своими связями. Содержательность школьной геометрии состоит в представлении определенных идеальностей и связей между ними. Эта определенная содержательность находится во внутреннем смысловом наполнении математика, рассматривающего аксиоматизированную систему, и стоит за ее чистой логикой. В самом деле, во-первых, "пространственные представления вместе с сопровождающими их чертежами играют роль лесов при постройке аксиоматического здания и свободно могут быть убраны без того, чтобы оно в какой-то мере пострадало в логическом отношении" [9. С. 50]. Во-вторых, определенное содержание с легкостью (самопроизвольно) выступает в сознании при чтении строгой системы. В качестве определенного содержания объектов мы представляем идеальную точку, прямую, плоскость и т.д. В качестве определенного содержания инцидентности мы представляем прямую, проходящую через точку, или точку, лежащую на прямой, и т.д. Таким образом, аксиоматическая система двойственна. С одной стороны, за ней стоит определенная содержательность, а с другой, она может выступать как чистая логика слов, выражающих общие понятия. Это связано с двойственностью речевого выражения. С одной стороны, речь входит во внутренние скрытые процессы материальных смысловых структур, поэтому она содержательна, с другой стороны, она выступает как вынужденное изменение связей внешних материальных предметов, т.е. слов и их систем, отторгнутых от субъекта. Отделение логик от определенного со-

держания возможно ввиду того, что логика есть особенность текста (представляющая во времени внутренние материальные смысловые "картины" теории).

Строго аксиоматизированная система геометрии как чистая логика имеет специальное назначение. Она касается не логичности содержания геометрии, которая исполняется ее определенным содержанием, а относится к сфере обоснования геометрии (ее непротиворечивости, полноты и др.).

О внешней (текстовой) части математики

Жизнь математики в значительной части происходит в объективно существующем (высказанном, написанном) тексте. Текст, в который включен субъект, служит, совместно с материальным смысловым наполнением субъекта, пониманию и развитию математических знаний, включаемых в текст. Аппарат текста обуславливает правильность значений математики в определенной мере независимо от субъекта. Так, правило переноса члена с одной стороны равенства в другую с заменой знака реализует логическое положение, согласно которому равенство сохраняется при прибавлении к обеим частям одной и той же величины. "С абстрактными объектами, обозначенными символами, мы должны обращаться как с некоторыми физическими объектами. Благодаря этому содержание вывода, указывает Гильберт, подменяется внешними действиями согласно правилам" [2. С. 66]. Математика превосходит другие науки развитостью внешнего текстового образования.

Существенно, что текстовая часть математики представляет историческое развитие математики, она может выглядеть как самостоятельный фактор общественного развития познания. Развитие наук есть процесс общественный, он имеет своим "субстратом" определенные структуры общества. К познающей структуре относится специфическая общественная среда с "вставленными" в нее материальными системами смыслов субъектов. Развитие и деятельность творческих субъектов являются "точками роста" познающей общественной системы, которая, по-видимому, имеет свои внутренние смысловые механизмы, выходящие за сферу знаний.

Развитие математического текста есть мощный исторический процесс, представляющий как бы вторую реальную действительность, которая в своем развитии дает новое. Реальность содержательности математики подобна реальности действительности,

только она состоит не в реальности восприятия действительности (предметов), а в реальности, представленной в доказательствах.

Математику иногда определяют как науку о доказательствах. Здесь оправдание существования содержания обусловлено не фактом объективных связей предметов, как в других науках, а вынужденным строем самих теорий, характеризующихся доказательствами. В науке, состоящей из умственных построений, существование теорий предъявляется в виде доказательств с необходимым следованием содержания. Эта необходимость заменяет необходимость следования предметов.

Наконец, сам ход познания, в том числе математического, свидетельствует о единстве процесса познания и действительности. Многочисленны факты одновременных и независимых друг от друга созданий различными субъектами одной и той же теории. Две различные по содержанию теории могут неожиданно сходиться и объединяться друг с другом. Результаты длительного развития чистой математики неожиданно находят применение в прикладной математике и практике. Различные знания имеют общий уровень в данный период: "Во всех областях научного познания человеческий разум ... проходит общие ступени независимо от того, познает ли он тайны неба... или тайны мира атомов"[10].

Действительность формирует мозг человека, настаивая его на эстетику идеальности, создавая возможности освоения и применения идеальных структур. Целостность творческого ответственного математика настроена на вид его деятельности, которая состоит в восприятии и представлении идеальных математических структур. Математик не может не иметь дело с такими структурами, также как игрок не может не играть. Осваивая математику, субъект включается в исторический процесс развития текстовой стороны математики.

Можно предположить, что в историческом ходе общественного познания в системе его содержательностей создаются объективные проблемные ситуации, которые представляют некий дефицит знаний и могут неосознанно настраивать субъекта на решение определенных проблем. Проблемность внутри субъекта есть некоторая разомкнутость в его структуре, связанная с нарушением процессов его жизни, что проявляется в мотивационной напряженности, которая приводит к изменению системы смыслов субъекта ее структурности в сторону решения проблемы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1985.

2. Рузавин Г. И. О природе математического знания. М., 1968.

3. Писаревский Б. М., Харин В. Т. Беседы о математике и математиках. М., 2004.

4. Математика в современном мире. М., 1967.

5. Энциклопедический словарь юного физика. М., 1984.

6. Пуанкаре А. О науке. М., 1983.

7. Адамар Ж. Исследование процесса изобретения в области математики. М., 1970.

8. Борн М. Эйнштейновская теория относительности. М., 1964.

9. Костин В. И. Основания геометрии. М., 1948.

10. Вопросы философии. 1957. N 6.

11. Пучинский В. М. К общей схеме механизмов субъективного психического. М., 2004.

Публикатор:

Постоянная ссылка для научных работ (для цитирования):

Найденный поисковым роботом источник:

Автор(ы) публикации - В. М. Пучинский:

Комментарии: