Рассматривая эволюцию древнейших систем счета, автор обнаруживает ее сходство с эволюцией счета у детей. На основе этого типологического сходства, опираясь на идеи Л. С. Выготского, а также на работы американской исследовательницы Д. Шмандт-Бессера о счетных системах на древнейшем Ближнем Востоке, автор реконструирует процессы в эволюции сознания, приведшие к появлению абстрактного счета, письма и в итоге - понятийного мышления.

Ключевые слова: древние счетные технологии, абстрактный счет, конкретный счет, эволюция психической деятельности.

Зачаточное состояние, в котором до настоящего времени находится проблема конкретного счета, связано главным образом с тем, что до недавнего времени она интересовала лишь историков математики. Однако однолинейно-эволюционистский подход, настроенный видеть в каждом явлении лишь очередную ступень в поступательном развитии, при изучении архаических явлений культуры и науки оказывается контрпродуктивным. Пользуясь им, исследователь может увидеть в доисторических и даже раннеисторических формах научных знаний лишь ту же науку, только в более примитивном, зачаточном виде. Мысль о том, что он имеет дело с чем-то качественно иным, нежели наука, даже не придет ему в голову, а если и придет, он не будет знать, что с этим открытием делать - его подход иного не приемлет.

Работой, где эта проблема переводится в плоскость историко-культурную и намечается, наконец, определенный прорыв в ее разработке, явилась книга Б. А. Фролова "Числа в графике палеолита" [Фролов, 1974]. Поставленная в ней проблема требовала в перспективе широких междисциплинарных исследований с участием специалистов-неархеологов, но этого не произошло. Между тем результаты исследования Б. А. Фролова не только имели многочисленные этнографические параллели (на что позже указывал В. В. Иванов [Иванов, 1999]), но и находили поддержку в некоторых идеях Л. С. Выготского [Выготский, 1996].

Обстоятельством, не благоприятствовавшим подобным исследованиям, было, видимо, то, что верхний палеолит и в счетно-технологическом, и в культурно-типологическом отношении отстоит слишком далеко не только от нашей эпохи, но и от исторического времени вообще, что создавало определенный когнитивный разрыв. Ситуация изменилась лишь с появлением работ Д. Шмандт-Бессера, касавшихся эволюции счетных систем на древнейшем Ближнем Востоке и ставивших в связи с этим ряд актуальных вопросов генезиса письменности, абстрактного счета и т.д. [Schmandt-Besserat, 1978; Schmandt-Besserat, 1980; Schmandt-Besserat, 1981; Schmandt-Besserat, 1982(1); Schmandt-Besserat, 1982(2); Schmandt-Besserat, 1983; Schmandt-Besserat, 1984]. Работы Д. Шмандт-Бессера напрямую обращались к проблемам неолитической революции и последующей эволюции экономики и общества вплоть до появления первых государств в Двуречье.

стр. 131
ДРЕВНЕЙШИЕ СЧЕТНЫЕ УСТРОЙСТВА И ПРОБЛЕМА ПРОИСХОЖДЕНИЯ АБСТРАКТНОГО СЧЕТА В РАБОТАХ Д. ШМАНДТ-БЕССЕРА

Гипотеза Д. Шмандт-Бессера о происхождении абстрактного счета стала результатом изучения развития счетных устройств на древнем Среднем Востоке в промежутке между 10 000 - 3000 гг. до н.э., в частности костяных счетов, глиняных объемных знаков и цифровых нотаций на глиняных табличках. Изучение тех же счетчиков легло в основу ее гипотезы о происхождении ближневосточной письменности, т.е. обе гипотезы тесно связаны. Надо сразу заметить, что эти гипотезы раскололи научное сообщество: так, С. Либерман, П. Мичаловский и Дж. Олден выступили категорически против, М. Пауэлл же, напротив, за (см. об этом [Powell, 1981]). Также поддержал эти гипотезы И. С. Клочков ([Клочков, 1984]). Объективные данные, говорящие против происхождения протошумерской пиктографики от объемных знаков, выдвинули А. А. Вайман ([Вайман, 1976]) и М. Грин ([Green, 1981]). Однако в данной статье для нас представляет интерес не генезис пиктографики, а объемные знаки как счетная система. Здесь у Д. Шмандт-Бессера позиции куда более прочные.

Выдвигая свои гипотезы, американская исследовательница предполагает, как это и принято в истории математики (см.: [Danzig, 1959; Smith, 1951; Kramer, 1970; Flegg, 1983]) существование трех основных стадий в эволюции счета: 1) взаимно-однозначные соответствия; 2) конкретный счет и 3) абстрактный счет.

1. Взаимно-однозначные соответствия. Счет во взаимно-однозначных соответствиях состоит в соответствии считаемых предметов идентичному числу счетных фишек. Историки математики, упомянутые выше, предполагают, что первоначально счет состоял только в повторяющемся сложении одной единицы без идеи совокупного количества. Уже в историческое время такие племена, как цейлонские веддхи, стояли на стадии не намного выше этой. Например, они считали кокосы соответствием каждого кокоса палке. Каждая прибавленная палка соответствовала счету "на один больше", пока коллекция кокосов не исчерпывалась. Тогда они просто указывали на полученную в результате кучу палок, говоря: "Это много". Иными словами, на этой стадии отсутствуют числовые концепты. Коллекции же предметов понимаются скорее как серии индивидуальных, не связанных между собой вещей, чем как связанное целое.

2. Конкретный счет. Считается, что на этой второй стадии понятие набора, или множества, уже достигнуто, но числовые концепты и считаемые объекты (денотаты) слились в единый смысловой блок. В результате множества различных вещей при одинаковом числовом концепте имеют различные цифровые выражения, которые и называются конкретными числами. В результате в конкретном счете числовые слова, которые выражают концепты "один", "два", "три" и т.д. различаются в зависимости от объекта счета: что именно считают - людей, каноэ или деревья. Реликты подобной классификационной схемы с большей или меньшей полнотой сохраняют многие языки мира. В частности, автор ссылается на работу И. М. Дьяконова [Diakonoff, 1983], изучавшего с этой точки зрения язык одной из этнических групп амурских нивхов (гиляков). Данный язык насчитывает 24 счетных класса (на порядок больше, чем, например, в китайском). И. М. Дьяконов находит многочисленные типологические параллели этому в древнейшей истории Месопотамии и, по словам Д. Шмандт-Бессера, предлагаемый ею археологический материал подкрепляет гипотезу советского востоковеда.

3. Абстрактный счет. На этой третьей и финальной стадии концепты чисел могут абстрагироваться от считаемых предметов. Таким образом, появляются абстрактные числа, которые могут применяться универсально, подобно нашим "один", "два", "три" и т.д. Д. Шмандт-Бессера замечает [Schmandt-Besserat, 1984, р. 57 - 58], что в целом ряде обществ слова для выражения абстрактных чисел происходят от конкретной нумерации, имеющей наиболее частое употребление.

стр. 132
Это частное замечание важно для ее гипотезы, которая состоит в следующем. Все эти последовательные стадии хорошо прослеживаются на артефактах, найденных при раскопках на Среднем Востоке и идентифицированных как счетные устройства.

1. Счетные кости, применявшиеся для счета во взаимно-однозначных соответствиях. Это кости животных и рога, несущие серии зарубок, найденные в мезолитических участках Среднего Востока около 10 000 гг. до н.э. По мнению Д. Шмандт-Бессера, они являются древнейшими артефактами, интерпретированными учеными как счетные устройства [Schmandt-Besserat, 1984]. Она полагает, что здесь мы имеем дело с чистейшим случаем счета во взаимно-однозначных соответствиях, так как, по ее мнению, в счетных бирках нет ничего, что указывало бы на какое-либо понятие набора.

2. Знаки, применявшиеся для конкретного счета. Это объемные знаки, которые моделировались в глине в специфических, систематически повторяющихся формах. В то время как серии зарубок могли пониматься лишь теми, кто их нанес, группы объемных знаков могли применяться для куда более широкой коммуникации. В частности, сравнивая отпечатки объемных знаков со знаками протошумерского письма, американской исследовательнице удалось показать, что каждая подобная знаковая форма могла символизировать определенную единицу количества, веса или объема конкретного продукта [Schmandt-Besserat, 1978; р. 44 - 45; Schmandt-Besserat, 1984, р. 54]. Так, сфера могла означать большую меру зерна, конус - малую меру зерна, тогда как овал, вероятно, представлял сосуд масла. При этом, с одной стороны, Д. Шмандт-Бессера удалось показать, что эти знаки применялись для счета во взаимно-однозначных соответствиях, т.е. один сосуд масла бывал представлен одним овалом, два - двумя овалами и т.д. С другой стороны, данная знаковая система явно включала определенные элементы абстракции. Во-первых, единицы мер реального имущества замещались глиняными символами. Во-вторых, знаки абстрагировали данные от их контекста, создавая предпосылки для произвольного манипулирования имуществом. Тем не менее знаки оставались конкретными в нескольких отношениях: а) счетные фишки были объемные, осязаемые, с ними можно было манипулировать; б) знаки репрезентировали слитые вместе концепт качества и два концепта количества; в) знаки представляли множество, как оно есть в природе: во взаимно-однозначных соответствиях.

3. Переход к абстрактному счету. Далее происходит смена еще нескольких стадий развития счетных технологий. Сначала объемные знаки заменяются их образами, оттиснутыми на конверте из глиняных табличек. На этой стадии еще не происходит никакой смены в практике счета. Она происходит на следующей стадии, характеризующейся техникой вычерчивания идеограмм острым концом стилоса (попросту говоря, письмом). При этом для обозначения количества мер имущества (обозначаемых пиктограммами) применяются цифры - символы, выражающие, по мнению Д. Шмандт-Бессера [Schmandt-Besserat, 1984, р. 57], абстрактные числа. Впервые подобные нотации появляются в пиктографических табличках Урука IVa, около 3100 г. до н.э. При этом за единицы цифровой записи были приняты единицы мер зерна как, по-видимому, наиболее употребительные.

Здесь необходимо сделать несколько замечаний. Во-первых, неясны как основания конкретного счета, так и критерии, по которым счет при помощи объемных знаков был отнесен именно к конкретному счету, а не к взаимно-однозначным соответствиям. В самом деле, ведь в реальной технике счета при помощи объемных знаков, как реконструирует ее Д. Шмандт-Бессера, взаимно-однозначные корреспонденции налицо. Тот аргумент, что в счетных костях, отнесенных ею к взаимно-однозначным соответствиям, отсутствует какой-либо концепт набора или множества (в отличие от объемных знаков), не работает по следующим причинам. Б. А. Фролов [Фролов, 1974] убедительно показал, что уже в верхнепалеолитических числовых нотациях, насеченных на счетных костях, присутствует идея стандартного набора на основе общего числового

стр. 133
концепта. В то же время нет никаких оснований относить данные числовые нотации к чему-то иному, нежели взаимно-однозначные соответствия: сам процесс нанесения зарубок предполагает именно "прибавление единицы" и ничего более. Кроме того, сам процесс перехода от взаимно-однозначных соответствий к абстрактному счету не представляется столь прозрачным, как это изображается Д. Шмандт-Бессера и цитированными ею историками математики. Создается впечатление, что здесь происходит смешение нескольких уровней знаковости. Для удовлетворительного решения этого вопроса необходима смена исследовательской парадигмы, позволяющая взглянуть на проблему в совершенно ином аспекте.

ПАЛЕОПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ДРЕВНЕЙШИХ СИСТЕМ СЧЕТА

Изучая древнейшие системы счета, нельзя игнорировать специфику сознания, их породившего, и не обратить внимания на его разительное отличие от сознания современного европейского человека. Привлечение этнокультурных параллелей заставляет обратиться к феномену детского счета и, шире, детского сознания (на возможность такого подхода указывал еще Л. С. Выготский и А. Р. Лурия (см.: [Лурия, 1974]).

Овладение детьми цифровым счетом в общих чертах выглядит следующим образом. Дети начинают со счета при помощи счетных палочек, пальцев и т.д., т.е. во взаимно-однозначных соответствиях в чистом виде, без идеи каких-либо наборов. Затем, в практике формирования группировок, "куч", ребенок начинает формировать числовые концепты (разумеется, не без помощи взрослых). Далее начинается самое интересное. Когда числовые концепты вполне сформированы: ребенок устойчиво и безошибочно отождествляет с определенными числами определенные наборы счетных фишек, достаточно показать ему цифры, обозначающие числа натурального ряда до десяти и дать их заучить (как заучивают алфавит), как ребенок начинает пользоваться цифровой системой счета в пределах первого десятка, причем делает это просто и совершенно естественно. Первое время ребенок пользуется обеими счетными технологиями одновременно, однако, если сразу перекрыть ребенку канал выстраивания взаимно-однозначных соответствий (попросту говоря, запретить пользоваться пальцами), он без особых затруднений переходит к цифровой системе счета и уже не возвращается к взаимно-однозначным соответствиям никогда.

Таким образом, во-первых, можно говорить о том, что устойчивые числовые концепты формируются непосредственно в практике счета во взаимно-однозначных соответствиях. Во-вторых, вследствие этого у детей переход от взаимно-однозначных соответствий к цифровой нотации и, следовательно, к арифметическому счету осуществляется скачкообразно, без каких либо предварительных стадий. В этом смысле стадия конкретного счета выглядит лишним звеном. Как уже показал Б. А. Фролов [Фролов, 1974], устойчивые числовые концепты начали формироваться, а возможно, и были сформированы (хотя бы частично) уже в верхнем палеолите; т.е. предположение Шмандт-Бессера о полной неспособности носителей взаимно-однозначных соответствий к какому-либо абстрагированию безосновательно. Более того, по замечанию В. В. Иванова, "самые ранние этапы отношения к числу у первобытных племен и у детей в современном обществе характеризуются способностью... на глаз с удивительной точностью и быстротой определять численность больших групп предметов" [Иванов, 1999, с. 466], что согласуется с исследованиями Ж. Пиаже [Пиаже, 1969, с. 325]. То есть палеолитическому человеку было достаточно просто взглянуть на последовательность зарубок, чтобы точно знать их численность. Что же помешало сразу перейти к абстрактному счету (пользуясь терминологией Д. Шмандт-Бессера)? Ответить на этот вопрос можно только, поняв психосемантические основания конкретного счета. В связи с этим возникает следующий вопрос: можно ли считать цифровой счет, которым пользуются дети 6 - 9 лет, абстрактным?

стр. 134
Как уже было установлено, у детей, освоивших в совершенстве счет во взаимнооднозначных соответствиях, не возникает проблем при переходе к цифровой нотации, так как не возникает проблем с абстрагированием числа от предмета. С чем же в таком случае эти проблемы возникают? Как показывают наблюдения, самые большие трудности - с установлением координации между концептами чисел (количественными свойствами предметов) и концептами качества (качественными свойствами предметов): ребенок с легкостью складывает лопаты с землекопами. Интересно, что это хорошо согласуется со следующим фактом, экспериментально установленным Л. С. Выготским [Выготский, 1996, с. 260 - 262]. В процессе усвоения спонтанных понятий (например, "брат") ребенок осознает предмет лучше, чем само понятие. В процессе же усвоения научных понятий (например, "эксплуатация") ребенок гораздо лучше осознает понятие, чем представленный в нем предмет или процесс. Ребенок легко осуществляет логические операции с ними, но с трудом соотносит их с предметной областью. Дело в том, что мышление ребенка не понятийное. Ребенок лишь имитирует понятийную сетку, сообщаемую взрослыми, но имитирует средствами, принципиально отличными от мышления взрослого человека: это два процесса, совпадающие только в конечной точке. Таким образом, абстрактный счет и использование цифровых нотаций - две разные вещи.

Против трактовки конкретного счета, которую предлагает Д. Шмандт-Бессера и цитированные ею историки математики [Danzig, 1959; Smith, 1951; Kramer, 1970; Flegg, 1983], есть еще два возражения, основанные на фактическом материале:

А) Существование счетных классов не отрицает существования универсальных числовых концептов; в свою очередь, универсальные числовые концепты сами по себе не делают числа абстрактными. Это хорошо видно на материале китайского языка, где слово, обозначающее число, всегда сопровождается специальным счетным словом, обозначающим соответствующий счетный класс. Таким образом, на уровне значений языка концепт числа и концепт качества здесь существуют раздельно, но на уровне глубинной семантики они существуют только слитно, в рамках недифференцированного смыслового блока, что следует из того факта, что в речи раздельно друг от друга они не встречаются;

Б) Предполагаемое в гипотезе Д. Шмандт-Бессера постепенное абстрагирование счета от конкретного к абстрактному означает следующее. Вначале мы должны иметь максимальное количество счетных классов, которое будет последовательно уменьшаться в процессе абстрагирования, пока, наконец, они не исчезнут совсем. В реальности дело обстоит как раз наоборот: судя по описанию Д. Шмандт-Бессера, количество счетных классов, воплощенных в объемных знаках, со временем очень быстро нарастало, пока вдруг скачкообразно не было заменено цифровой системой (созданной на базе знаков, обозначающих меры зерна).

В чем же здесь дело? Мы не поймем сущности конкретного счета до тех пор, пока будем относиться к нему как к этапу развития счетных технологий. Как будет показано ниже, смысловое ядро конкретного счета как феномена пребывает совсем в другой плоскости.

Обратимся к реконструкции семантики чисел в анауской культуре (Юго-Западная Туркмения, 5 - 3-е тыс. до н.э.) (см.: [Вырщиков, 2001]). Здесь каждое конкретное число является элементом крупного, недифференцированного или слабо дифференцированного семантического блока (в отличие от абстрактного числа, полностью абстрагированного от каких-либо конкретных связей). В этом сказывается одна из основных черт допонятийного мышления - нерасчлененность абстрактного и конкретного. В связи с этим нелишне еще раз вспомнить выводы Л. С. Выготского:

"Ребенок, по-видимому, не входит в область отвлеченных понятий, отправляясь от специальных видов и поднимаясь все выше и выше. Напротив, сначала он пользуется наиболее общими понятиями. К рядам, занимающим среднее место, он приходит не путем абстрагирования, а путем определения. Развитие представлений у ребенка идет от недифференцированного к дифференцированному, а не обратно" [Выготский, 1996, с. 178].

стр. 135
Таким образом, процесс нарастания количества счетных классов (типов объемных знаков), зафиксированный Д. Шмандт-Бессера, представляет собой дифференциацию крупных семантических блоков. Здесь мы, по-видимому, наблюдаем в действии ту самую дифференциацию сознания, без которой переход к абстрактному счету был бы невозможным.

Тут любопытно вспомнить о связи между системой объемных знаков и знаковыми системами, связанными с керамическим орнаментом, знаками на статуэтках, печатях [Вырщиков, 2001, с. 57 - 60]. Очевидно, что знаковые системы подобного типа создавались отнюдь не для счета. Есть основания полагать, что и объемные знаки первоначально также создавались с иными целями, а для счета были приспособлены лишь впоследствии, в процессе ведения производящего хозяйства.

Вряд ли правомерно и отождествление цифрового счета с абстрактным. Переход к цифровой системе регистрации чисел - процесс, приводящий к обобщению числовых свойств предметов, т.е. к абстрагированию. Однако речь идет лишь о возможности: сама по себе абстракция числа от предмета не является переходом к абстрактному счету; последний предполагает качественно иное мышление - понятийное. Л. С. Выготский по этому поводу заметил:

"Предпонятие есть абстракция числа от предмета и основанное на ней обобщение числовых свойств предмета. Понятие есть абстракция от числа и основанное на ней обобщение любых отношений между числами. Абстракция и обобщение мысли принципиально отличны от абстракции и обобщения вещей" [Выготский, 1996, с. 279].

Процесс дифференциации крупных семантических блоков, о котором было сказано выше, создает условия для перехода от конкретного счета к абстрактному - в области счета, от предпонятий к понятиям - в области мышления.

Здесь надо еще раз обратить внимание на параллельность процессов появления и развития цифрового счета и письменности на Ближнем Востоке. Как и при генезисе цифрового счета, формирование письменности еще не означает перехода к понятийному мышлению, однако создает для этого возможность. Как заметил Л. С. Выготский:

"...если бы все, что мы желаем высказать, заключалось в формальных значениях употребляемых нами слов, нам нужно было бы употреблять для высказывания каждой отдельной мысли гораздо больше слов, чем это делается в действительности. Но именно этот случай имеет место в письменной речи..." [Выготский, 1996, с. 337].

Дело в том, что письменная речь означает отсутствие реального слушателя и, следовательно, характеризуется монологичностью. При этом устная, диалогическая речь занимает промежуточное положение между письменной речью (абсолютная развернутость) и внутренней речью (абсолютная предикативность). Следовательно, регулярное использование письменной, монологической речи (представляющей собой исключительно "речь для других") представляет собой своего рода упражнение на отделение "речи для других" от "речи для себя"; а именно такой дифференцированностью характеризуется понятийное мышление. В этом смысле "монолог представляет собой высшую, более сложную форму речи, исторически позднее развившуюся, чем диалог" [Выготский, 1996, с. 340].

Таким образом, писец, оформляющий царский указ или регистрирующий приход/расход имущества, вынужден ориентироваться на читателя, который должен понять написанное однозначно, и, следовательно, вынужден максимально отвлекаться от ситуационного контекста. Подобной проблемы не возникает у счетовода: вспомним, что и по сей день в России он осуществляет регистрацию наиболее простым и естественным для себя способом - простановкой палочек или галочек (как в верхнем палеолите). Здесь взаимно-однозначным соответствиям не препятствует ни образование, ни владение абстрактным счетом. Система объемных знаков, как она описана Шмандт-Бессера,

стр. 136
представляет собой, разумеется, более сложную систему, однако счетно-технологически она находится в рамках взаимно-однозначных соответствий. Для перехода к цифровому счету, пусть даже в рамках специальных исчислений, требуется качественно иной стимул, нежели счетоводческая деятельность. В частности, как вариант, это могла быть регистрация с целью контроля над счетоводами.

Таким образом, возвращаясь к конкретному счету, нужно сказать следующее. Существенной неточностью в гипотезе Д. Шмандт-Бессера является смешение нескольких уровней знаковости. Они находятся в тесной связи и друг друга предполагают, однако имеют разную психосемантическую природу и, как следствие, автономны друг относительно друга. Это три уровня: 1) уровень счетных технологий; 2) уровень концептов и 3) уровень мышления.

1. К нему относятся аспекты, связанные непосредственно с оперированием знаками. На этом уровне в обозначенной исторической перспективе просматриваются две стадии: взаимно-однозначные соответствия и цифровой счет. В естественном языке этот уровень примерно соответствует синтаксису языка.

2. Его составляет система концептов, связанная с уровнем счетной системы (1). В исторической перспективе этот уровень содержит два полюса: чистые взаимно-однозначные соответствия, где числовых концептов еще не существует, и универсальные нумерации, где концепт числа полностью отделен от концептов качества. Между ними располагаются описанные выше специальные нумерации, спектр которых может быть самым разнообразным. Впрочем, нигде еще не доказано, что стадия специальных нумераций является неизбежной при любых исторических обстоятельствах. Вспомним, что дети овладевают универсальными нумерациями, минуя стадию специальных нумераций. Надо, впрочем, сказать, что дети научаются уже готовой нумерации, разработанной взрослыми, а не изобретают собственную; точно так же, как в процессе овладения языком (речью), они ориентируются на язык взрослых. Ясно, что древние люди, будучи сами взрослыми, были лишены подобной возможности. Тем не менее из приведенного примера ясно, что стадия специальных счислений не является необходимой, а значит и неизбежной при любых обстоятельствах. В языке этому уровню соответствует уровень значений языка. Интересно, что предложенная мною триада порождения счета "счетный знак - числовой концепт - мысль" совпадает с триадой порождения речи, выведенной Л. С. Выготским: "слово - значение - мысль".

3. Этот уровень в своем историческом развитии также обнаруживает схождения со стадиями развития мышления ребенка, выявленными Л. С. Выготским. Так, чистый счет во взаимно-однозначных соответствиях, связанный с отсутствием какой-либо идеи множества в связи с числом, хорошо согласуется с понятием синкретического мышления ребенка, которое ввел Клапаред [Выготский, 1996, с. 135].

Конкретный счет - счет в потенциальных понятиях и псевдопонятиях, тогда как абстрактный счет связан исключительно с понятием числа. Своеобразными полюсами этого многоуровневого процесса являются, с одной стороны, взаимно-однозначные соответствия, с другой - абстрактный счет, однозначно характеризующийся как предельной дифференцированностью концептуального уровня (что предполагается понятийным мышлением), так и цифровой технологией счета. Конкретный счет при этом заполняет все пространство между ними, характеризуясь исключительным разнообразием как в технологическом, так и в концептуальном аспекте.

Вероятно, формы конкретного счета определяются конкретной культурной ситуацией, в которой тот возник и развивался. Возможно, именно в рамках развития конкретного счета как типа мышления были реализованы высокие достижения древнеиндийской и древнекитайской математики, древнеегипетской инженерной мысли и т.д. Впрочем, этот вопрос спорный и требует отдельного исследования. Интересно, что каждая стадия счета как бы вызревает внутри предыдущей, при этом происходит активное межуровневое взаимодействие.

стр. 137
В самом деле, числовые концепты формируются в процессе использования взаимно-однозначных соответствий, что приводит к появлению конкретного счета, в процессе развития которого происходит дифференциация числовых концептов, что в свою очередь приводит к появлению универсальных счислений и переходу к цифровому счету. Это создает необходимые условия для абстрагирования уже от числа и постепенного перехода к абстрактному счету.

Таким образом, конкретный счет как явление относится скорее не к истории математики, а к истории сознания.

ПРОБЛЕМА ГЕНЕЗИСА ЦИФРОВОЙ НОТАЦИИ В КОНТЕКСТЕ ЗНАКОВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В АРХАИЧЕСКИХ КУЛЬТУРАХ

Вернемся, однако, к вопросу о происхождении объемных знаков. Из вышесказанного видно, что сама параллельность в формировании на Ближнем и Среднем Востоке систем цифрового счета и письменности указывает на то, что ни одна из них не могла произойти от другой (в пользу этого тезиса см. также: [Вайман, 1976; Green, 1981]). С одной стороны, число протошумерских письменных знаков, явно связанных с объемными знаками, относительно невелико. С другой - счетная система, как показала Д. Шмандт-Бессера [Schmandt-Besserat, 1984], также имеет самостоятельное происхождение. При этом следует помнить, что происхождение объемных знаков слишком раннее, чтобы те были изначально созданы для счетоводческой деятельности, да и сам уровень развития хозяйства в 9-м тыс. до н.э. делал операции учета и контроля бессмысленными. Все это позволяет предполагать, что обе системы знаков - счетная и письменная - ведут происхождение от какой-то третьей, автономной по отношению к обеим. При этом произошла перекодировка - прежний знаковый репертуар стал использоваться для обслуживания знаковой системы (систем) принципиально иной природы.

В связи с этим интересны факты, указывающие на связь объемных знаков со знаками орнамента, знаками на статуэтках и другими подобными знаками, не имеющими прямой предметной соотнесенности. Прежде всего обращает на себя внимание сходство между оттисками объемных знаков и основными формами знаков в орнаментах неолитической и энеолитической культур (равно как и некоторых культур бронзы). При проекции на плоскость конус и тетраэдр дают треугольник, биконус - ромб, шар и диск - круг, полудиск - полукруг, цилиндр - прямоугольник - основные формы орнаментальных знаков. Но ведь, по мысли Д. Шмандт-Бессера, именно оттиски объемных знаков послужили прототипами для того набора обозначений протошумерской письменности, который связан не с изобразительными, а с символическими формами [Schmandt-Besserat, 1978, р. 44 - 45]. Однако подобные знаки протошумерского и протоэламского письма обнаруживают большое сходство с соответствующими знаками сузианской орнаментальной традиции, да и не только с ними.

Более того, репертуар знаков-символов, аналогичных и даже идентичных протошумерским, встречается на всем пространстве древнеземледельческих культур от Балкан до Хараппы без всякой связи с объемными знаками, зато часто обнаруживая связь с символикой местной дописьменной традиции (в отношении Малой Азии и Балкан см.: [Иванов, 1983, с. 53 - 80; Marcotic, 1981]). Что касается систем дописьменной символики, то реконструкции и подробной характеристике, в том числе типологической, одной из них (анауского орнамента, глиптики и знаков на статуэтках) была посвящена кандидатская диссертация автора (см.: [Вырщиков, 2001]). Как показывает реконструкция, данная знаковая система предназначена для невербальной коммуникации весьма специфического свойства. Одна из особенностей описываемой знаковой системы состоит в том, что знаками кодируются не значения в обычном смысле этого слова, а крупные семантические блоки, некие смысловые доминанты, способные образовывать смысловые цепочки, сходные с теми, которые Л. С. Выготский называл комплексами. Именно

стр. 138
эта особенность позволяла без структурной перестройки применять данную знаковую систему к самым разным сторонам деятельности в данной культуре - иконографии, домостроению, обрядности, мифопоэтике, календарю и т.п.

На вероятную сакральную функцию объемных знаков иногда указывают и места, где они были найдены. Так, на комплексе Тоголок-21 (Маргиана, 2-е тыс. до н.э.) яйцевидные шарики из глины найдены сложенные кучкой в месте сопряжения двух круглых алтарей - большого и малого [Сарианиди, 1990, с. 133].

Складывается впечатление, что и объемные, и плоскостные знаки изначально входили в знаковую систему того типа, реликты которого сохранились, например, у некоторых племен современной Индии [Mallebrein, 1993]. По сей день горцы Средней Индии используют, помимо плоскостных, и объемные знаки, напоминающие своей яйцевидной формой те, которые изучала Д. Шмандт-Бессера. Однако в отличие от счетных фишек они выполняют функции иконографические, или, вернее, синкретически соединяют иконографические, вотивные, охранительные и т.п. функции. Вообще, обращаясь к этнографическим материалам (в частности, по племенным группам Индии), легко обнаружить, что любой социально значимый вид деятельности в обществах архаического типа так или иначе связан с обрядовой сферой (см., например: [Naik, 1956; Elwin, 1969]).

Вернемся, однако, к объемным знакам. Говоря о генезисе счетной системы, восстановленной Д. Шмандт-Бессера, мы, как уже было сказано, имеем в виду не произвольный акт "перекодировки", а ряд последовательных сдвигов, исподволь приведший к появлению качественно нового, - именно так обычно и происходит вызревание инноваций в традиционном обществе.

Исходя из вышесказанного, можно наметить несколько гипотетических этапов становления цифрового счета на древнем Ближнем Востоке.

На первом этапе, на заре своего бытования, объемные знаки существуют в рамках универсальных знаковых систем и дублируют другие виды знаковых репертуаров. В самом деле, обрядовое дублирование имеет огромную важность в культурах архаического типа (см., например: [Mallebrein, 1993]). Различные типы изображений божества, разные виды символов, священных предметов, приношений к алтарю и сам тип алтаря, храма, а зачастую и прилегающей к храму местности дублируют одно и то же - божество, которому они посвящены. Именно божество и есть незримое ядро, обеспечивающее то синкретическое единство функций, о котором говорилось выше.

Второй этап связан с установлением устойчивой связи (пока чисто ритуальной, происшедшей в ходе обрядового дублирования) между объемными знаками и приношениями к алтарю. Трудно сказать, чем это мотивировалось, вероятнее всего приношение дублировалось изготовлением соответствующего объемного знака, т.е. и тот, и другой выполняли в данном случае вотивные функции.

На третьем этапе значимым становится точное соответствие между количеством и формой объемных знаков и количеством и качественным составом приношений по принципу:

количество объемных знаков1 = количество мер приношения1

количество объемных знаков2 = количество мер приношения2

количество объемных знаковn = количество мер приношенияn.

Вероятно, именно этой стадии соответствует упоминавшаяся выше находка из комплекса Тоголок-21 (яйцевидные глиняные шарики, сложенные между двух алтарей). В сущности, с этого момента появился готовый аппарат для учета прихода/расхода припасов в утилитарно-хозяйственных целях. Оставалось лишь появление настоятельной необходимости для приведения этого аппарата в действие.

Четвертый этап характеризуется превращением храмов в крупные, а затем и в гигантские по тогдашним меркам хранилища припасов (это состояние засвидетельствовано в ранних письменных источниках Ближнего Востока). Частично этот про-

стр. 139
цесс начался еще на предыдущих этапах в связи с успехами производящего хозяйства: во-первых, с ростом числа приношений в храм, а во-вторых, с тем, что храмы в ранней древности выполняли функцию общественных хранилищ. Так или иначе появилась потребность сначала в учете, затем в контроле над учетчиками, а в итоге - и в контроле над контролерами. Эта потребность и была движущей силой дальнейшей эволюции счетной системы, основанной на операциях с объемными знаками, которая и привела к появлению цифровой нотации.

В заключение можно сказать следующее. В процессе исследования развития знаковых систем, как и развития культуры в целом, в древности мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда эволюционные процессы не носят прямолинейного характера. Подобная прямолинейная модель эволюции предполагает, что какой-либо элемент культуры развивается от самых примитивных форм до вполне развитых в одном качестве, и только. Именно в таком ключе и строятся обычно модели культурной эволюции. Однако подобная модель эволюции правомерна только для ограниченных временных периодов. И главное, подобная модель не позволяет исследовать качественные переходы, когда культурная форма в процессе своего развития переходит в совершенно иное качественное состояние. Между тем при исследовании культур древности мы имеем дело с большими временными интервалами, и обойти эти проблемы невозможно. Данная работа позволяет предложить иную картину развития культур древности, где эволюция культурных форм неизбежно предполагает качественные скачки со сменой направления развития. То есть на определенном этапе в силу изменившихся исторических условий те или иные культурные формы привлекаются для выполнения функций, им ранее не свойственных. При этом происходит качественная перестройка самой этой формы (для знаковой системы - то, что называется перекодировкой). В длительной исторической перспективе культурная эволюция - сложный процесс, сопровождающийся периодической сменой доминирующего направления, при этом наиболее значимыми для последующих этапов развития часто оказываются элементы, находившиеся на периферии предшествующих культур. Подобный взгляд позволяет в корне изменить подход к реконструкции развития культурных форм. Тогда в начале каждого эволюционного этапа зачастую окажется не некая примитивная культурная форма, а форма, изначально предназначенная для выполнения совершенно иных функций. В целом это позволит исследователю видеть не только историческую перспективу развития культуры, но и ее ретроспективу.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Афанасьева В. К. Мифология и эпос в шумеро-аккадской глиптике. Автореф. канд. дисс. Л., 1965.

Вайман А. А. О протошумерской письменности // Тайны древних письмен. Проблемы дешифровки. М., 1976.

Выготский Л. С. Мышление и речь. М., 1996.

Вырщиков Е. Г. Динамика знаковых систем и модель мира древних земледельцев (на материале анауской культуры). Рукопись канд. дисс. М., 2001.

Иванов В. В. История славянских и балканских названий металлов. М., 1983.

Иванов В. В. Нечет и чет. Асимметрия мозга и динамика знаковых систем // Иванов В. В. Избранные труды по семиотике и истории культуры. Т. 1. М., 1999.

Клочков И. С. От переводчика // Кьера Э. Они писали на глине. М., 1984.

Лурия А. Р. Об историческом развитии познавательных процессов. Экспериментально-психологическое исследование. М., 1974.

Пиаже Ж. Генезис числа у ребенка // Пиаже Ж. Избранные психологические труды. М., 1969.

Фролов Б. А. Числа в графике палеолита. Новосибирск: Наука, 1974.

Сарианиди В. И. Древности страны Маргуш. Ашхабад: Ылым, 1990.

Danzig Т. Number: the Language of Science. N.Y., 1959.

Diakonoff I.M. Some reflections on numerals on Sumerian towards a history of mathematical speculations // Journal of the American Oriental Society, 103:1, 1983.

Elwin V. The Nagas in the Nineteenth Century. Oxford, 1969.

стр. 140
Flegg G. Numbers, their History and Meaning. N.Y., 1983.

Green M.W. The Construction and Implementation of the Cuneiform Writing System // Visible Language. XV 4 (autumn 1981).

Kramer E. The Nature and Growth of Modern Mathematics. N.Y., 1970.

Mallebrein K. Die anderen Gцiter. Kц ln, 1993.

Marcotic V. Some aspects of Neolithic religion in Southeast Europe // Network of the Past: Religion Interaction in Archaeology: Proceeding of the Twelfth Annual Conference. The Archaeological Association of the University of Calgary. Calgary, 1981.

Mellaart J. Catal Huyuk: A Neolithic Town in Anatolia. L., 1967.

Naik T.B. The Bhils: A Study. Delhi, 1956.

Powell M.A. Three Problems in the History of Cuneiform Writing: Origins, Direction of Script, Literacy // Visible Language. XV. 4 (autumn 1981).

Schmandt-Besserat D. The earliest precursor of writing // Scientific American. Vol. 238. N 6. 1978.

Schmandt-Besserat D. The envelopes that bear the first writing // Technology and Culture. Vol.21. N 3. 1980.

Schmandt-Besserat D. From tokens to tablets... // Visible Language. Vol. XV. N 4. 1981.

Schmandt-Besserat D. The emergence of recording // American Anthropologist. Vol. 84. N 4. 1982(1).

Schmandt-Besserat D. How writing came about // Zeitschrift fьr Papyrologie und Epigraphik. Bd. 47. 1982(2).

Schmandt-Besserat D. Tokens and counting // Biblical Archaeologist. Spring 1983.

Schmandt-Besserat D. Before numerals // Visible Language. Vol. XVIII. N 1. 1984.

Smith D. History of Mathematics, vol. 1. Boston, 1951.

стр. 141

Постоянный адрес данной публикации: